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《微分方程与差分方程详解与例题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利(Bernoulli)方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线
2、性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉(Euler)方程；微分方程的简单应用。【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特
3、解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。【考点分析】本章包括三个重点内容：1•常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。2•微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点
4、。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。3.数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。【考点八十三】形如y分方程的解题程序：f(x)g(y)的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微当g(y)o时,yf(x)g(y)f(x)dx，然后左、右两端积分g(y)出f(x)dxC,上式即为变量可分离
5、微分方程的通解。其中，C为任意常数，g(y)皿表示函数丄的一个原函数，f(x)dx表示函数f(x)的一个原函数•g(y)g(y)【例7.1】微分方程yxyxy1的通解为。【详解］yx1y空x1dxy1两边积分得空y1x1dx,即InyCi,1x12°1y1ee2Ce1x121x1yCe2,C为任意常数。【例7.2］微分方程xy2xdxydy0,x0时，y1的特解为【详解］分离变量得dxyx21dy积分得亠dxx1Inx21y2C1令x0,y1，则【例7.3］若连续函数fdyC1,1In2x11Iny
6、21C1,122，即22x1y1e2C1C.•••所求特解为2x1y212.x满足关系式fx2xcf-tdtIn2,02则y2y2Cfx等于（(A)exln2.(b)2xe2xln2.(C)exIn2.(D)e2xIn2.【详解］对所给关系式两边关于x求导,2fx,且有初始条件f0In2.于曰是,x2fx,dfx2dx，积分得fxln
7、fx
8、2xIn
9、C
10、，故fxCe2x令x0,得CIn2.故fxe2xIn2.应选(B)01【例7.4］已知曲线yfx过点0,1,且其上任一点x,y处的切线斜率为2xI
11、n1x2,则fx212xxx满足:dx21yxln1xdxIn12【详解】yxln1x2,y
12、x0x2dx2x2In1212xx1x0,y一代入上式,得C1x22故fx11x2In2212xx【例7.5】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为ro的雪堆在开始融化的3小时内，融化212xx212xx了其体积的7，问雪堆全部融化需要多少小时?8r2，而雪堆为半球体状,43故设雪堆在t时刻【详解】半径为r的球体体积为r，表面
13、积为43212xx212xx的底面半径为r，于是雪堆在t时刻的体积V2，侧面积S2r。其中体积V，半径r212xx212xxt的函数。与侧面积S均为时间kS.由题意，有3dt212xx212xxk,drkdtdrkdt，ktc0时，r「0C，kt38Vt0，即3kro11kr°，rr°t66当雪堆全部融化时，rro。0,V01令0-r°tr0，得t6(小时)。6【例7.6】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N，在t0时刻已掌握
