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《微分方程与差分方程_详解与例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、儿何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究/考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变暈可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；们努利(Bernoulli)方程：全微分方程；町用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微
2、分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉(Euler)方程；微分方程的简单应用。【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。【大纲要求】要理解微分力程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握儿类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，们努利方程，可降阶方程等。
3、理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。【考点分析】本章包括三个重点内容：1.常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。2.微分方程的应用问题，这是一•个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
4、3.数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。【考点八十三】形如y'=/(x)g(y)的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序：当g(y)工0时,y9=f(x)g(y)O——=f(x)dx,然后左、右两端积分g(y)f-^-=f/W^+C,Jg(y)J上式即为变量可分离微分方程的通解。其中,c为任意常数,[盏表示函数命的一个原函数，JfMdx表示函数/(X)的一个原函数【例7.1]微分方程y'=xy+x+y十1的通解为。dyy+1两边积分得即I
5、n卜+1
6、=*(兀+1)2【详解】•・•y,=(x+lXy+l)=y->cix丄(.丫+1)2丄6+1)2-(x+1)2.•.y+1二±"'"2=Ce2,.•.)=02-1,C为任意常数。【例7.2】微分方程(xy24-x)dx+(x2y-y)t/y=0,当x=0时，y=I的特解为【详解】分离变量得x{y2+11/a+y(x2-1^/y=0,z.dx+—^―Jv=0.x2-1y2+1积分得J右dx+J玄心=C,-1+-lny24-l=G2•lnx2-l
7、(y24-1)=2C,即(F-1/+1)=土严】=c.令兀=O,y=l,则-2=C,J所求特解为(
8、x2-l)(y2+l)=-2.【例7.3】若连续函数/(兀)满足关系式/(x)=^X/f-L/+ln2,则12丿/(兀)等于()(A)訐ln2.(B)e2xIn2.(C)ex+2・(D)e2x+2.【详解】对所给关系式两边关于兀求导,得广⑴=2/(兀)，目.有初始条件/(O)=ln2.于是,=2dx,矗!分得lnl/(x)l=2x+lnlCI,故f(x)=Ce2x.令x=0,得C=In2.故/(兀)=的］n2.应选(B)。【例7.4】已知曲线y=/(x)a点(0,-丄］,且其上任一点(x,y)处的切线斜率为<2)dx=*Jln(l+=*(]+兀
9、2)呻+兀2)_[2+c【详解】y—f(兀)满足~~~=xln(1+兀2),y
10、乂=0=——.y=pdn(l+/)兀=0,y=_•代入上式，得C=_■22故于(X)=*(l+/)[ln(l+x2)_l]【例7.5]一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球而而积S成正比，比例常数R〉0。假设在融化过程屮雪堆始终保持半球体状，已知半径为心的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积叫，问雪堆全部融化需要多少小时?【详解】半径为「的球体体积为护，表血积为计，而雪堆为半球体状，故设雪堆在丽刻2的底面半径为门于是雪堆在r吋刻的体积V=-7rr侧血积S=2^r其
11、中体积u,半径厂3与侧而积S均为时间7的函数。Ay由题意，有-=-kS.dt即—=-k.dr=
