习题详解-第10章微分方程与差分方程初步

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1、习题10-11.指出下列方程的阶数：(1)．(2)．(3)．(4)．解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶2.验证下列给出的函数是否为相应方程的解：(1),．(2),．(3)，．(4)，．解：(1)是，代入即可.(2)是，代入即可；(3)是，因为，满足；(4)是，代入，，显然满足.3.验证:函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程的通解.解：满足，所以是解，又因为含有两个任意常数，且方程是二阶的，故是通解.4.已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程的通解,求满足初始条件x

2、t=0=2,x¢

3、t=0=0的

4、特解.解：上题可知是微分方程通解，且代入初值条件，得，所以特解为习题10-21.求下列微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得两端分别积分：-18-这就是方程通解.(2)这是可分离变量方程，分离变量得两端分别积分：即这就是方程通解.(3)这是可分离变量方程，分离变量得两端分别积分：即这就是方程通解.(4)这是可分离变量方程，分离变量得两端分别积分：即这就是方程通解.(5)这是齐次方程，令则代入原方程并整理　两端分别积分：即这就是方程通解.(6)这是齐次方程，化简得令则代入

5、原方程并整理，两端分别积分：即这就是方程通解.(7)这是齐次方程，化简得-18-令则代入原方程并整理，两端分别积分：即这就是方程通解.(8)这是特殊方程，用换元法，令则代入原方程并整理，两端分别积分：即这就是方程通解.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．解　(1)分离变量：．两端分别积分：．解得：．将代入通解中，求得．故所求特解为．(2)分离变量：．两端分别积分：-18-．将代入通解中，求得．故所求特解为．(3)　这是齐次方程,令则代入原方程并整理　两边积分得　　即变量回代得所求通解由代入通解，得，故所求

6、初值问题的解为3.一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.解：设曲线方程为：由题意可得方程:,且，解分离变量方程得：,由得，故所求曲线为：.4.物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t的变化规律.解设物体的温度与时间的函数关系为建立该问题的数学模型:其中为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得两边积分得(其中为任意常数

7、)，即(其中).从而再将条件(2)代入,得于是，所求规律为习题10-3-18-1.求下列微分方程的通解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)解(1)这是一阶线性非齐次方程，其中．首先求出(积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为．(2)这是一阶线性非齐次方程，其中．首先求出(积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为．(3)这是一阶线性非齐次方程，其中．首先求出(积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为．(4)将x看作y的函数，即对进行求解，可将原方程化为未知函数为的线性方程，

8、于是，．首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解为　　　　.(5)将x看作y的函数，即对进行求解，可将原方程化为未知函数为的线性方程，于是，．-18-首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解为　　　　.(6)令则代入原方程并整理　两边积分得　　变量回代得所求通解2.求解下列初值问题：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，.解　(1)这是一个齐次线性方程,整理得，其通解为，将初始条件代入上式，可得，故所求特解为．(2)这是一阶线性非齐次方程，其中．首先求出(积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为将初始条件代入上式，可得，故所求特

9、解为．(3)将x看作y的函数，即对进行求解，可将原方程化为未知函数为的线性方程，于是，．首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解为-18-　　　　.将初始条件代入上式，可得，故所求特解为．(4)　这是伯努利方程，以除方程的两端,得即令则上述方程变为　解此线性微分方程(过程略)，可得，得所求通解为，将初始条件代入上式，可得，故所求特解为．3.通过适当变换求下列微分方程的通解：(1)；(2).解　(1)令则原方程化为.分离变量,得，两端积分得以代入上式,得通解.(2)这是伯努利方程，其中，则有公式得通解4.求过原点的曲线，使其每一点的切线斜率等于横坐标的

10、2倍与纵坐标之和.解：由题意可得方程，这是一阶非齐次线性方程，其中，然后用公式(10-6)可得所求通解为-1