赵树嫄微积分第四版第二章-极限与连续教学教材.ppt

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1、赵树嫄微积分第四版第二章-极限与连续第一节数列的极限割圆术我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割圆术，就是极限思想在几何上的应用。(一)数列概念三国时的刘徽提出的的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.“割圆求周”割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.数列的定义例如称为无穷数列,简称数列.(二)数列极限的定义1x2问题:当n无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?通过上面图示观

2、察:如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：定义总存在正整数N,不等式记为或如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),几何解释：其中：用数列极限的定义证明极限。例1证例2证注：极限的定义只能用来验证某常数是否为某数列的极限，而不能用来计算极限。(三)收敛数列的基本性质性质1极限的唯一性性质2有界性定理2收敛的数列必定有界。注1有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。注2无界数列必定发散。有界数列不一定收敛.性质3收敛数列的保号性定理3函数的极限第二节(一)自变量趋于无穷大时函数的极限xy通过上面图示观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”？例1证几何解释:例3解例2解xy例如有两

3、条水平渐近线：xy水平渐近线:水平渐近线:(二)自变量趋于有限点处时函数的极限3.几何解释:说明：例4证例5证证得证。例6证得证。例7(三)左极限与右极限左极限：左极限：右极限：解左右极限存在且相等,例8例9设解(四)函数极限的性质性质1函数极限的唯一性性质2有极限函数的局部有界性推论1性质3有极限函数的局部保号性注意推论2定理第四节无穷大量和无穷小量(一)无穷大量绝对值无限增大的变量叫无穷大量。xoy精确定义：1、无穷大量是一个变量，不可与绝对值很大很大的数混为一谈；2、称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。注：证得证.xoy例1例2有两条竖直渐近线：解所以有水平渐近线：无穷大量

4、与无界变量的关系(1)无穷大量显然是无界变量；(2)但无界变量不一定是无穷大量。例如数列再如，但它并不是无穷大量。(二)无穷小量定义以零为极限的函数(或数列)称为无穷小量。例如,注：1.无穷小量是变量，不能与绝对值很小的数混为一谈;3.称一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势。2.零是唯一可以作为无穷小量的数；无穷小量和极限的关系：证略.定理表明：极限概念可以用无穷小量概念来描述.定理定理无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量。证于是有例3解无穷小与有界变量之积仍是无穷小。(三)无穷小量与无穷大量的关系意义关于无穷大量的讨论,都可归结为关于无穷小量的讨论。例4例5解(四)无穷小量的阶比值

5、极限不同,反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同。观察各极限定义：设α和β是某一极限过程中的无穷小量，例6证例7证可推广：定义例8解例9解第五节极限的运算法则证略定理说明：1.有两层意思：(1)在limf(x)和limg(x)都存在的前提下，lim[f(x)+g(x)]也存在；(2)lim[f(x)+g(x)]的数值等于limf(x)+limg(x).2.lim[f(x)+g(x)]存在,不能倒推出limf(x)和limg(x)存在.3.若limf(x)存在，而limg(x)不存在，则lim[f(x)+g(x)]肯定不存在.4.可推广到有限多项.反证：假设lim[f(x)+g(x)]存在,已

6、知limf(x)存在,由定理知limg(x)存在,矛盾。推论1推论2例2例1如果分母的极限为零，则不能直接运用上述方法。例3解解例4消零因子法有理化方法解例5解变量代换法例6例7解一般,“抓大头”法例8例9例10例11思考：例12解注意：以下解法错误：因为法则(1)不能推广到无限多个函数的情形.解例13例14无穷小与有界变量之积仍是无穷小。错误！正确解法：不存在！例15例16注：所有反三角函数均是有界函数。第六节两个重要极限(一)极限存在的准则定理(准则Ⅰ)例1解由夹逼定理得上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限。定理(夹逼定理)证略。定理(准则Ⅱ)单调有界数列必有极限。下面利用两个

7、准则证明两个重要的极限。(二)两个重要极限xy先利用夹逼准则证明重要极限：1基本不等式：等号当且仅当x=0时成立。实际上，对一切实数x成立。基本不等式：等号当且仅当x=0时成立。等号当且仅当x=0时成立。即得所以先证解所以例2例3例4解再利用单调有界准则证明另一个重要的极限存在：先看一个实际例子。考虑一个复利问题。假设我们考虑1年定期存款，利率为100%，初始存款(称为本金)为1元。利率设为100%仅仅是为了便于计算，我