微积分-微分方程与差分方程

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1、第九章微分方程与差分方程简介§9.1微分方程的基本概念§9.2一阶微分方程§9.3高阶常系数线性微分方程§9.4差分方程的基本概念§9.5常系数线性差分方程§9.6高阶常系数线性差分方程§9.1微分方程的基本概念一、微分方程的定义凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程定义1二、微分方程的阶微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶三、微分方程的解如果某个函数代入微分方程

2、后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微分方程的特解定义2定义3§9.2一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次微分方程齐次微分方程不是可分离变量的微分方程，但通过变量代换可将其化为可分离变量的微分方程，方法如下：一阶线性微分方程（Lineardifferentialequationoffirstorder)线性方程(Lineardifferentialequation)伯努利方程(Be

3、rnoullidifferentialequation)三小结思考判断题一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一线性方程(Lineardifferentialequation)例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换2.线性非齐次方程积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次方程通解非齐次方程特解解例1例2如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数

4、值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程所求曲线为解方程改写为不是一阶线性方程把看作的函数，于是变为§9.3高阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为解特征方程为解得故所求通解为例1解特征方程为解得故所求通解为例2二、二阶常系数非齐次线性

5、微分方程设对x求导为非齐次方程令则有二阶导数§9.4差分方程的基本概念一、差分的概念定义二阶差分三阶差分反之由定义容易证明，差分具有以下性质：