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《赵树�微积分第四版第八章 多元函数微积分(1).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、第八章 多元函数微积分1前面几章讨论的函数都只有一个自变量，称一元函数。但在实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形，这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题。本章将在一元微积分的基础上，讨论多元函数的微分法和积分法，主要讨论二元的情况。2第一节空间解析几何简介(一)空间直角坐标系1、坐标系的建立在空间中取定一点O，定点横轴纵轴过O点作三条相互垂直的数轴Ox,Oy,Oz,各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系。称O为坐标原点，竖轴称数轴Ox,Oy,Oz为坐标轴，坐标轴确定的平面为坐标平面，简称xy,yz,xz平面.
2、称由两3(一)空间直角坐标系1、坐标系的建立定点横轴纵轴竖轴第一节空间解析几何简介空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指度转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向。从x轴正向以角4Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ5空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点一个分量为零:点在坐标面上.两个分量为零:点在坐标轴上.6(二)空间两点间的距离POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N为空间两点,两点间的距离公式：7例1在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.设该点为M(0,0,z),由
3、题设
4、MA
5、=
6、MB
7、,即解得即所求点为解8(三)曲面与方程F(x,y,z)=0Sxyzo定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0；(2)坐标满足方程F(x,y,z)=0的点都在S上；那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程，而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形。9例2解根据题意有化简得所求方程10M0MR根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为球面方程：11例3解即因此，球心为(1,-2,3)，半径为R=4.12常见的空间曲面：1º平面平面的一般方程：其中A,B,C不全为零.例如：(0,1,
8、0)13常见的空间曲面：1º平面平面的一般方程：其中A,B,C不全为零.例如：oy(2,0,0)xz(0,2,0)(0,0,2)142º柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。15xyzo例4考虑方程x2+y2=R2所表示的曲面。ol在xoy面上,x2+y2=R2表示以原点O为圆心,半径为R的圆。曲面可以看作是由平行于z轴的直线L沿xoy面上的圆x2+y2=R2移动而形成,称该曲面为圆柱面。16例5画出下列柱面的图形：抛物柱面平面17例6指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？解斜率
9、为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程183º二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面，二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐标系后，可以化成如下几种标准形式。19zxyO用坐标面z=0,x=0和y=0去截割,分别得椭圆(1)椭球面20(2)单叶双曲面xyoz(3)双叶双曲面xyo21(4)椭圆锥面特殊情况：--圆锥面.zxy22xyzo(5)椭圆抛物面oyzx旋转抛物面23(6)双曲抛物面(马鞍面)xyzo24(一)多元函数的定义第二节多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数。多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。25例1设长方体的长、宽、高分别为
10、x,y,z，则长方形的体积xyz例2在西方经济学中，著名的Cobb—Douglas生产函数为L>0，K>0分别表示投入的劳力数量和资本数量，y表示产量。当K,L的值给定时，y就有一确定值与之对应，因此称y是K,L的二元函数。这里为常数，26(二)二元函数的定义域平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集，例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合可表示为记作27平面区域：不包含边界的区域称为开区域。例如，例如，平面区域是由一条或几条曲线(或直线)所围成的平面的一部分。包含边界的区域称为闭区域。2829解所求定义域为求的定义域．例330(三)二元函数的几何意义二元函数
11、的图形通常是一张曲面。31再如,图形如右图.例如,球面.单值分支:32(一)邻域第三节二元函数的极限与连续33(二)二元函数的极限定义34证证明证毕．例4恒有无穷小乘以有界变量仍为无穷小。35例5在二元极限中，变量替换、等价无穷小替换等方法仍然可以使用。36例6求解由基本不等式知由夹逼定理，37(三)二元函数的连续性定义一切二元初等函数在其定义域内都是连续的。例如，内连续.38一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。例7所以对多元初等函数来说,可以用“代入法”求极限.例839有界闭区域上连续
