大学文科数学第五章不定积分

《大学文科数学第五章不定积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、章节第五章微分的逆运算问题不定积分课时6课时教1.理解原函数与不泄积分的概念。2.理解不定积分的基本性质。学3.掌握不定积分的基本公式。目4.学握不定积分的第一换元法、第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）和分部积分法。的5.会求简单有理函数的不定积分（分解定理不做要求），会求简单无理函数及三角函数有理式的积分。教学重点1.不定积分的基本性质。及2.不定积分的基本公式。3.不定积分的第一换元法、第二换元法邙艮于三角代换与简单的根式代突出换）和分部积分法。方法教学1.不定积分的第一换元法、第二换元法邙艮于三角代换与简单的根式代换）和分部积分法。难点2.简单有理函数的不定积分

2、。及突破方法相关内容素材教学过程§1逆向思维又一例----原函数与不定积分1・1原函数与不定积分的概念定义1设函数F(劝与/•(劝在区间/上有定义.若在/上F©)=f(x),则称函数FU)为f(x)在区间I上的一个原函数.定理1若函数/(兀)在区间I上连续，则/(%)在I上存在原函数F(x).定理1将作为第六章§2中定理的推论得到证明.由于初等函数在其有定义的区间上是连续的，因此，根据定理1知道，初等函数在其有定义的区间上存在原函数.定理2设F(x)是/(%)在区间/上的一个原函数，则(1)F(x)+C也是/(兀)的一个原函数，其中C为任意常数.(2)/(兀)的任意两个原函数

3、之间，相差一个常数.定义2/(X)在区间I上的全体原函数称为/(x)在I上的不定积分，记作jf{x)dx其中称J为积分号，/(兀)为被积函数,f(x)dx为被积表达式，兀为积分变量.例1设曲线通过点(0,0),且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线.1.2基本积分公式怎样求一个已知函数/(x)的不定积分(即原函数族)呢？自然想到利用不定积分的定义，首先应求/(兀)的一个原函数F(x),使尸(兀)=/(%),而后根据定义就可写岀/(%)的不定积分•但我们发现，求一个函数的原函数原比求-个函数的导数困难得多，其原因在于原函数的定义不像导数那样具有构造性,即它值

4、告诉我们其导数刚好等于已知函数/(X),而没有指出rti/(x)求原函数的具体操作方法.因此，我们只能先按照微分法的已知结果去逆推，正如德摩根所说，积分变成了冋忆微分.1.3不定积分的线性运算法则定理1若函数f(x)和g(x)在区间I上的原函数都存在，则/(X)±g(兀)在区间/上的原函数也存在.且J(/W±g(x))必=JfMdx±jg{x)dx证根据不定积分的定义，只要证明上式右端的导数等于左端不定积分的被积函数就可以了(j/(x)dr±Jg(x)tZ¥)/=(jf(x)dxY±(Jg(x)dxY=f(x)±g(x)这表明J/(兀)力±Jg^dx是/(x)±g(兀)的原函

5、数,证毕.定理2若函数/(%)在区间/上存在原函数，k为实数伙H0),则函数妙(劝在区间/上的原函数也存在，且jkf{x)dx=Z:jf{x)dx.证法同上.根据上述不定积分的线性运算法则和基本积分公式，我们可以求一些简单函数的不定积分.这样求不定积分的方法称为直接积分法.例2求f(2cosx-0、+兀-3皿例3求『上宦J1+x2例4求jcos2—tZx.作业/课后反思§2换元积分法和分部积分法2.1换元积分法1.第一类还原法定理1（第一换元积分法）设g（u）及（px）连续，且Fu）=g（u）,则作变量代换u=0（兀）后，有Jg[(p(x)](px)dx=Jg[(p(x

6、)]d(p(x)=jg(u)du=F(w)+C=F[(p{x)]+C求Jsin'xcosxcbc求f21MaH0)Ja+x求Jxsin兀求(1)[sinxcosxdx=jsinxdsinx=-^sin2x+C訂沁必二斗如也ln

7、cz+C.JCOSXJ(2)tanxdxcosx例5求］一dx（aH0）Ja~-x2.第二换元积分法定理2（第二换元积分法）设/（劝，0（/）,0a）均连续，且°‘（/）ho,又存在原函数F（f）,则JfMdx=jf[(p^](pXt)dt=F(r)+C例6求f——^—j=dx」1+Vx例7求Jyla2-x2dx{a>0)対岛心）2.2分部积分法Ju

8、x)v(x)c/x=w(x)v(x)一Jux)v(x)djc求JxcosMx.例10求Jarctanxdx.例11求jx2exdx我们己经看到，求一个函数的原函数远比求一个函数的导数困难得多，而且有些不定积分就没有初等函数表达式.对初学者来讲要掌握更多积分技巧确有一些困难.因此在实践屮，我们常常需要借用其他工具来拓展我们的积分能力.常用的方法是通过变量代换将被积函数化为〈积分表〉中已有的积分类型，直接使用积分表中的结论•随着计算机的广泛使用，也可在微机上利用数学软件包进行计算.有兴趣的读者可参阅有关资