大学文科数学第五章

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1、第五章矩阵与线性方程组5.1矩阵的运算5.2线性方程组5.3线性变换与矩阵（不讲）5.4线性规划（不讲）5.5其他应用（不讲）例1.某班同学成绩单姓名国文数学外文地理周星驰65619872张曼玉92569969陈水扁78828889成绩单中的数据随学期而变,为便于研究，可用数表表示:矩阵是现实生活中数据表格的抽象表示奥巴马蒋介石78698768887173915.1矩阵的运算例2.某航空公司在四城市之间的航线图:(√表示有航班):把表中的√改成１,空白地方填上０,就得到一个数表:新乡伊朗天水上海该数表反映了四城市间航班开通情况,航班的调整可通过表格进行.为清楚起见，用下面的表来

2、表示天水伊朗新乡上海出发天水伊朗新乡上海到达苹果葡萄板栗香蕉周一1.52.51.81.6周五1.62.31.91.5周日1.42.421.5苹果葡萄板栗香蕉周一1.93.52.32.1周五2.12.92.32.1周日1.92.92.52.1例3.某超市部分水果价目表进货价销售价价格的变化通过数表来反映;赢利情况可通过对上述数表的运算得到.矩阵的概念定义排成的m行n列的矩形数表个数可简记为：元素行标列标称为矩阵　的　　　元素.(）矩阵.称为可用圆括弧或方括弧!例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.例如是一个3阶方阵.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称

3、为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,不全为0（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）或用表示.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为12.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.例4设解1.矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为4.1.1.矩阵相加（减）和数乘说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运

4、算.例如矩阵加法的运算规律2.矩阵的数乘数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中4.1.2.矩阵的乘法例5设例6故解注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.矩阵乘法的运算规律（其中为数）;若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且注意矩阵不满足交换律，即：例设则但也有例外，比如设则有例6计算下列乘积：解解：=(）方阵的幂（补充）定义(k为正整数)设A为方阵,为A的k次幂.规定称则方阵的幂的运算性质一般来说初等行变换的背景18

5、01年德国数学家高斯把线性方程组的全部系数作为一个整体收获：线性方程组可以用矩阵来表示初等行变换的引入将矩阵的两行对调第1行第2行第1个方程第2个方程两个方程对应也发生对调对调矩阵两行的变换称为对换变换初等行变换的引入将矩阵的第一行乘以2第1行第2行第1个方程第2个方程第一个方程对应也在等号两边同乘以2矩阵某一行乘以一个常数的变换称为倍乘变换注意：倍乘变换与矩阵数乘的区别初等行变换的引入矩阵的第2行加上第1行乘以（-2）第1行第2行第1个方程第2个方程第二个方程对应也在等号两边同时加上第一个方程的（-2）倍矩阵某一行的倍数加到另一行上的变换称为倍加变换定义下面三种变换称为矩阵的

6、初等行变换:同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。定义矩阵A用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩(A)或。矩阵的秩（补充）例7求下述矩阵的秩解：所以秩(A)=4。▌则说方阵A是可逆的，并把方阵B称为A的逆矩阵。注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。由定义即得：当B为A的逆矩阵时，A也是B的逆矩阵。例如因为AB=BA=E，所以B是A的逆矩阵，同样A也是B的逆矩阵。定义对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使AB=BA=E，4.1.3.逆矩阵B=A-1。如果方阵A是可

7、逆的，则A的逆阵一定是唯一的。这是因为：设B、C都是A的逆矩阵，则有B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C，所以A的逆阵是唯一的。A的逆阵记作A-1。即若AB=BA=E，则例如因为AB=BA=E，所以B是A的逆阵，即A-1=BA可逆A非奇异有逆的方阵称为非奇异矩阵,没有逆的方阵称为奇异矩阵.矩阵逆的求解方法——行初等变换法解：例8练习求下列矩阵的逆矩阵：线性方程组增广矩阵系数矩阵未知数向量常数向量5.2线性方程组①交换两个方程的位置；②用一个非零的数乘某一个方程；③将一个方程的倍数加到另