大学文科数学3

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1、1/82第三章变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分学之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之实.——朱熹：《朱子语类辑略》在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.——恩格斯2/82教学目标：本章目标是介绍导数概念、求导数的方法、微分及其运算。要求理解导数的概念、会求导数与微分、掌握导数与微分的运算法则。了解牛顿的生平事迹和微积分发生与发展简史.教学重点：导数概念、求导方法、微分概念；教学难点：导数概念、微分概念、高阶导数的概念；3/82教学内容§1函数的局部变化率——导数§2求导数的方法——法则与公式§3局部改变量的估值问题—

2、—微分及其运算数学家启示录4/82第一节函数的局部变化率－导数问题提出我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的函数关系以外，有时还需要研究变量变化快慢的程度.例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国民经济发展的速度等。三类问题：1：求变速运动的瞬时速度2：求曲线上一点处的切线3：求极大值和极小值5/821.1抽象导数概念的两个现实原型原型Ⅰ求变速直线运动的瞬时速度.匀速运动：设在[0，T]上连续，求.MM0PM1s△sO瞬时速度；变速运动：瞬时速度.1.提出问题想一想如何处理速度变与不变的矛盾？6/823.回答两个思考题⑴步骤MM0PM1s△sO①求增量给一个增量,时间从变到了，则②

3、求增量比（局部以匀速代变速）③取极限（平均速度的极限值即为在时刻t0的瞬时速度）7/82原型Ⅱ求曲线切线的斜率.和是曲线上两点它们的连线是该曲线的一条割线，当点M沿曲线无限接近于点M0时，割线绕点M0转动，其极限位置M0T就是曲线在点M0处的切线（图3.2），求曲线在点M0处切线的斜率.OXYΔxM0MΔyy0x0x0+ΔxTαβ（图3.2）8/82思考⑴步骤？⑵数学思想方法？提出问题若的图象是直线，则；若的图象是曲线，则.OXYΔxM0MΔyy0x0x0+ΔxTαβ（图3.2）OXYΔxM0MΔyy0x0x0+Δxβ9/823.回答两个思考题⑴步骤①求增量给一个增量，自变量由变到，则②求

4、增量比③取极限其中是切线与轴的夹角OXYΔxM0MΔyy0x0x0+ΔxTαβ（图3.2）10/82瞬时速度平均速度2：取极限（第一步为第二步做准备）总结：上面两个现实原型的范畴虽不相同，但从纯数学的角度来考察，所要解决的问题相同：求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度，即变化率问题；处理问题的思想方法相同；矛盾转化的辨证方法；数学结构相同：函数改变量与自变量改变之比，当自变量改变量趋于零时的极限.由这两个具体问题便可抽象出导数的概念。1：化为切线割线2：取极限1：化为11/821.2导数概念定义1设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处有增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数有增量

5、，如果与之比，当时的极限存在，则称这个极限值为在点处的导数，记作，其它形式即X0为固定的点注意：如果上述极限不存在，则称在x0处不可导一个整体符号12/82由此可知：导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度；导数的几何意义是曲线切线的斜率.由上知求导数步骤如下：⑴给一个增量，求相应的函数增量⑵求平均变化率⑶求平均变化率的极限，即导数是平均变化率的极限！OXYΔxM0MΔyy0x0x0+ΔxTαβ（图3.2）13/82定义2如果函数在区间内的每一点都可导，则称函数在区间内可导.这时，函数对于区间内每一值都对应着一个确定的导数，称为函数的导函数，记作或其计算公式为显然函数在点处的导数就是导数

6、在处的函数值.在不致引起混淆的情况下，导函数也简称为导数.是常数是函数14/82★2.右导数:单侧导数1.左导数:★15/82★★可导区间：16/82由定义求导数步骤:例解s17/82例1：求函数在点处的导数.解：给一个增量，则函数增量为平均变化率为于是求导方法：法一、直接在点x0处求增量。法二、求出导函数，再将x0代入。使用法一18/82例2求函数在点处的导数.解先求导函数.给任意一点一个增量，得由于所以再求函数在点处的导数方法：1）直接在点x0处求增量。2）求出导函数，在将x0代入。使用法二19/82例3求函数的导数.解任取一点给一个增量，得从而由于当时，又因在任取点处连续，根据连续函

7、数求极限的法则，故得20/82例2解21/821.5函数的连续性和可导性之间的关系定理：如果函数在点处可导，那么在点处可连续.该定理可简述为：可导则连续.注意：该定理的逆命题并不成立.如在点处连续，但它在点处不可导.22/82例解23/821.6高阶导数的概念二阶导数的力学意义是运动物体的加速度.定义：记作24/82记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,25/82