大学文科数学20101.4

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1、第一章微积分1.4导数的应用2.4导数的应用主要教学内容：讨论函数的单调性，极值、最值（复习）未定式极限的求法幂指函数的极限（不讲）函数的单调性函数单调增加：函数图像的切线走向：切线与x轴正向夹角为锐角，斜率=2.4导数的应用函数单调减少:函数图像的切线走向：切线与x轴正向夹角为钝角，斜率=2.4导数的应用2.4导数的应用局部性质与整体性质（关于点的性质与关于区间的性质）2.4导数的应用定理设函数在[a,b]连续，在（a,b）内可导。1.若在(a,b)内则函数在[a,b]上单调增加。2.若在(a,b)内则

2、函数在[a,b]上单调减少。如果函数在区间（a,b）内单调，则称（a,b）为的单调区间。2.4导数的应用例2.4.3判断函数的单调区间.解：函数的定义域为（-∞，+∞），函数的导数为由定理列出下表：x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)y/+0-0+y↗19↘-13↗2.4导数的应用结论：函数y在(-∞,-1]及[3,+∞)上单调增加；在[-1,3]上单调减少。（闭？）图像如下：-1o3xy20-152.4导数的应用例2.4.4判定函数的单调区间。解函数的定义域为(-∞，+∞），函数的导数为列表如

3、下：x(-∞,0)0(0,6/11)6/11(6/11,3)3(3,+∞)y’—∞+0—0—y↘0↗9.87↘0↘2.4导数的应用结论：函数在[0，6/11]上单调增加，在(-∞，0]，[6/11，+∞）上单调减少。（闭？）注：表明函数在(0,0)处的切线垂直于x轴。（参见教材59页图1.39）2.4导数的应用函数达到极值的条件1.函数达到极值的必要条件定义设函数y=f(x)在x0的某个邻域(x0,x0+)有定义,若对任意x(x0,x0)(x0,x0+)，(1)有则称为的极大值；(2)有则

4、称为的极小值。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。2.4导数的应用定义若则称为函数的驻点。定理（极值存在的必要条件）设函数在可导，且是极值，则即是的驻点。注：1.必要条件是在可导的前提下，而对于不可导点，也可能是极值。如例2.4.4中的是极小值，但不存在。2.对可导的点只是极值的必要条件，但不充分。例如在x=0处的导数为0，但显然不是极值。2.4导数的应用2.函数达到极值的第一充分条件定理（极值存在的第一充分条件）设函数在点的某邻域内连续，且对，存在．(1)若对则是极大值【导数从正变

5、到负】．(2)若对则是极小值【导数从负变到正】．(3)若对，不变号，则不是极值．2.4导数的应用应用第一充分条件求函数极值的步骤：(1)计算，将分解成因式之积；(2)列出使的点（即驻点）和不可导点；(3)用驻点及不可导的点将的定义域分成若干区间，并确定各区间内导数的符号；(4)列表，标明各区间内函数的单调性；(5)单调性由增改变为减的点即为极大值点，由减改变为增的点即为极小值点。2.4导数的应用例2.4.5求函数的极值。解函数的定义域：导数为：2.4导数的应用令，得驻点为：-1，2；且x=0为导数不存在点

6、.列表为（不画图，有些函数的图像很难画；形象思维发展到逻辑思维）其中是极小值,不是极值。x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,2)2(2,+∞)y/+0+∞—0+y↗8/3↗∞↘极小↗2.4导数的应用3.函数达到极值的第二充分条件若函数在驻点处有二阶导数，则可以用二阶导数的正负符号判断极值.设函数在处取到极大值，因此有且在处有二阶导数，从而的导数应为负。请看下面的图．2.4导数的应用设函数在处取到极小值，因此有且在处有二阶导数，从而的导数应为正。请看下面的图．2.4导数的应用定理（极值存在的第二充分条件

7、）设函数在具有二阶导数，且(1)若则是极大值;(2)若则是极小值；(3)若则无法判断，需用定理2.4.4判断。2.4导数的应用例2.4.6求函数的极值。解因有驻点：又因故是极大值，是极小值。2.4导数的应用应用第二充分条件求函数极值的步骤：(1)计算导数，将分解成因式之积；(2)列出使的点（即驻点）；(3)计算二阶导数；(4)确定各驻点处的符号,若,则是极大值;若,则是极小值。注：两种方法的选用——当二阶导数存在时，用后者。思考：能否给出函数极值的“充要条件”？2.4导数的应用函数的最值定义设函数在闭区间

8、上有定义,.若对任意则称为在上的最大值；若对任意则称为在上的最小值．最大值与最小值统称为最值．注：极值只是局部的性质，而最值是整个定义域上的最大最小值，所以“最值”是整体的性质。2.4导数的应用闭区间上函数的最值求法：(1)计算，将分解成因式之积；(2)列出使的点（即驻点）和不可导点；(3)分别计算内驻点，不可导点及区间端点处的函数值；(4)从上述有限个函数值中选出最大与最小的，即为所求的最大最小值。（最大值一定唯一，最大值点