r^2空间上的度量椭圆

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1、第25卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vo1．25，No．32009第3期NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITYR2空间上的度量椭圆水桂艳丽计东海王晖(哈尔滨理工大学)【摘要】研究R空间上度量椭圆的结构，给出R空间上两个不同的赋范空间线性等距同构的充要条件．关键词：度量椭圆；内积空间；线性等距同构是内积空间当且仅当存在。，Y0∈s(x)，使得对0引言于任意c>2，1996年吴森林、计东海根据欧氏平面上的椭E(。，c)={似。+#yoI+圆是到两定点、(焦点)的距离之和等于定长=c1．

2、2c，并且2c大于两定点之间的距离2o的点的集合引入度量椭圆的概念，把欧氏空间中椭圆的概念1主要结论推广到一般的Minkowski平面上去，给出了度量引理1．1X=(，lI·I1)是内积空间的椭圆的定义，并在一般的Minkowski平面上讨论充要条件是它的单位圆是椭圆或圆．了度量椭圆的相关理论，证明了一般的证明必要性任意取X=(R，lJ·l1)Minkowski平面上度量椭圆是中心对称的闭凸曲的标准正交基e。=(o，b)，e：=(口，b)，则对线，同时给出了内积空间的一个新的特征性质．笔者主要对空间上的度量椭圆进行研究．V∈X，存在

3、A1，A2ER定义1ll令是一个Minkowski平面，，Y使得=Ale1+A2e2EX，≠Y并且C≥lJ一Yll，称集合E(x，)，，c)定义映射—R，Vx，Y∈X={∈Xlll一zlI+lIY—『I=c}为以，Y有()=(A。，A2)，(y)=(IX1，2)为焦点，大小c为的度量椭圆．贝<，Y>=已经证明E(，)，，c)=-儿．业×=All+A2且T(S(X))={(A，，A：)：A+A=1}．，，)+，所故是与尺的线性等距同构映射．以为了研究一般度量椭圆的结构和性质只需研究

4、设V=(s，￡)∈．s()形女ⅡE(x，c)={∈XIll+YIl+Il—Yl=贝fAt口+A：口tt=Al61+A2b2c}，其中∈S()，c≥2的度量椭圆．引理2⋯设是一个Minkowski平面，则从而存在。，，卢。，收稿13期：2008—10—21}国家自然科学基金(10671048)6哈尔滨师范大学自然科学学报2009正4c2(Y2cosOYisin0)使得lA-+卢·‘下—LA；=0L25+t因为A：+A=1(c。s+孕sin)(_Y2c。s一sinaooa—一，●所以(1s+卢1f)+(Ol25+fl2t)=1．———+

5、———一cc一斗充分性设X=(R，Il·ll】)，=(R，丁ll·II：)，其中(i)当0=0，a

6、s(X2)，从而X与是企丝：￡：二线性等距同构的，故是内积空间．引理1．2设X=(R，II·lI)是内积空间，则一其中s()={(，，，)∈XI+Y：=1}，则它的从而，，2+，，2=度量椭圆是椭圆或圆．证明令=(。，2)∈s(x)，Y=(Y，Y)故E(，。)：{，，∈R2：)

7、，2+2：}∈E(，c)贝ⅡII+Yll+l1—Yl=c(ii)当0=％丌--，n>b时，即Y2++—_：1√／(1+Y1)．(2+y2)1。口644企二：丝++=c(1+Y1．(2+)一一6一则一2从而y2+y2：=c—2c／(x,-y,)2(x2_y2)2．+N(l—Y1)(2一Y2)故’c)=ly∈R2：y~+2=}—广一十—一因而它的度量椭圆是椭圆或圆．引理得证．2c+定理1．3设=(R，ll·0)，则X是内积空间的充要条件是存在其度量椭圆是椭圆或圆．一(等+4x。2y2)证明根据引理2，设0=(al，b1)，Yo=(a2，

8、b2)，对VY=(s，t)EE(x0，c)24c[1+2+一(+)]aoaD有．f一+Lt=口6l+2+(+4x2y2)_2c(+4X2Y2)从而存在1，2，}，1，l，2设l=acos~，2=bsinO使得f-‘2卢声s+￡~ljc4—4c2=4c(2+)_16(+aDa因为+=cy丁2sinO)即2+(c2-4)=1c4—4c2：(4c2—16)(y—lco—s0+Y2sinO44+，，所以第3期R空间上的度量椭圆7(1s+／"1t．(2s+P2t)1反之VYo∈E(x。，c)，存在Y∈E(x，C)，使得—一十—c2。(c一4)

9、=Yo且lIII=IIfl=IlyIf，所以是44E(x。，C)和E(x，c)的线性等距同构映射，根据引因而E(x。，C)是椭圆或圆．定理得证．理1．2，E(x。，c)是椭圆或圆，故E(x。，C)也是椭定理1．4实内积空间X=(R，I