2009-20109学年第二学期高等数学试题_a_参考答案new

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1、2009-2010学年第二学期高等数学试题(A)参考答案一、填空题（每小题4分，共20分）314111.12。2.。3.R。2224ab11122224.ddfrsinrsindr。5.e。00024二、选择题（每小题4分，共20分）1.(A)2.(C)3.(B)4.(B)5.(D)三、计算、证明题（每小题10分，共60分）n112nun1x21.解：记unxx,因为limx,所以由比值法知2n1nunx22当x<1即x<1时，级数收敛；当x>1即x>1时，级数发散。于是可知幂级数的收敛半径R=1，即收敛区间为-

2、1,1。当x1时，级数unx为交错级数，由莱布尼兹定理知级数收敛，n1故幂级数的收敛域为-1,1.n112n记Sxx,x-1,1.于是n12n1n1n1112n2n1SxxxxxSx1,n12n1n12n1'n111'2n1n12n2Sx1x1x2,x-1,1.n12n1n11xxx1'xSx10Stdt1S1002dt0arctant0arctan,x1t故SxxSx1xarct

3、an,xx-1,1122222.解：设球面：xyz3R,其中0

4、0，故函数SR在R=4时取得最大值，且在定义域内仅有此唯一极值，所以当R=4时，球面在定球内部部分的面积最大。3.解：由于区域D为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的方法计算，0sinysinxsinxsinx（1）左边=0edyedx=0eedx0sinysinxsinxsinx右边=0edyedx=0eedxsinxsinx2（2）由泰勒定理知：ee2sinx,5sinysinxsinxsinx2Lxedyyedx0eedx224.解：作一原点为心，以>0为半径的小球面取外侧

5、为正侧222取>0充分小，使在椭球面:2x2yz4之内，记为内测，且由曲面与曲面所围的区域记为，小球面围成的球体记为，则I=1xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy，333x2y2z22x2y2z22x2y2z222xP13xP=，=-,3352222x22222222xyzxyzxyz2yQ13yQ=,=-,3352222y22222222xyzxyzxyz2zR13

6、zR=,=-,3352222z22222222xyzxyzxyzPQR++=0，xyzPQR由于,,在上连续，且取外侧，根据高斯公式有1xyzxdydzydzdxzdxdyPQR=++dv=0dv032222xyzxyz11xdydzydzdxzdxdy1又=xdydzydzdxzdxdy332222xyz1143=3dv=34，333故I=0+4=4225.解：曲面zxy1在点1，-

7、1，3处的法向量为2，-2，-1，22切平面方程为z=x22y1，切平面与曲面zxy的22z=x22y1x1y11交线zx2y2在xoy平面上的投影为z0,其所围区域记为D,2222V2x2y1xydxdy1x1y1dxdy,DD21x1rcos22令y1ysin，则V1rrdrd0d0