《高等代数》第二学期模拟试题四new

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1、《高等代数》第二学期模拟试题四一．填空题（每题2分，共22分）⎛100⎞−11．设⎜⎟，A*是A的伴随矩阵，则(A*)=__________.A=⎜220⎟⎜⎟⎝345⎠2．若对任意的n×1矩阵X，均有AX=0,则A=_________.223．若n阶矩阵A与B相似，且A=A，则B=_______.4．二次型f(x,x,x)=−4xx+2xx+2xx的矩阵是________,二次123121323型的秩为___________.⎛110⎞5．若⎜⎟是正定矩阵，则k满足条件__________________.A=⎜1k0⎟⎜00k2⎟⎝⎠6．实对称矩阵在合同变换下的不变量是_______,_

2、________,和__________.7．n维线性空间V的线性变换A的零度和秩是指_________________和____________________________.二．单选题（每题3分，共18分）1．设A,B为n阶方阵，则（）（A）

3、A

4、≠0或

5、B

6、≠0，必有

7、AB

8、≠0(B)

9、A

10、=0或

11、B

12、=0，必有

13、AB

14、=0（C）

15、A

16、≠0且

17、B

18、≠0，必有

19、A+B

20、≠0（D）

21、A

22、=0且

23、B

24、=0，必有

25、A+B

26、=02．设n维向量α=⎛1,0,?,0,1⎞,矩阵A=E−α'α,B=E+2α'α，⎜⎟⎝22⎠其中E为n级单位矩阵，则AB=___________________.(A)

27、0(B)－E(C)E(D)E+α'α3．若A与B相似，则（）（A）λE−A=λE−B(B)

28、A

29、=

30、B

31、1(C)对于相同的特征值λ，矩阵A与B有相同的特征向量（D）A与B均与同一个对角矩阵相似4．实二次型f(x,x,?,x)=X'AX为正定的充分必要条件是（）12n（A）

32、A

33、>0(B)存在n级可逆矩阵C使得A=C'C（C）负惯性指数为零（D）对某一个X=(x,x,?,x)'≠0，有X'AX>012n5．设A，B均为n阶矩阵，则必有____。(A)

34、A+B

35、=

36、A

37、+

38、B

39、（B）AB=BA−1−1−1(C)

40、AB

41、=

42、BA

43、(D)(A+B)=A+B实二次型6．下面定义的变换中，（）是线性变换

44、。（A）在线性空间V中，Aξ=ξ+α，其中α是一个固定的非零向量；（B）在P[x]中，Af(x)=f(x+2)；（C）把复数域看成复数域上的线性空间，Aξ=ξ；Pn×n（D）在中，把每一个元素变成单位矩阵。三．计算题（12分）设AB=A+2B且⎛301⎞，求B。⎜⎟A=⎜110⎟⎜⎟⎝014⎠四．（18分）设n阶可逆矩阵A的一个特征值为2，其伴随矩阵为A*,求证A−11（1）有一个特征值；2

45、A

46、（2）A*的一个特征值为;2(3)A'的一个特征值为2.五．（10分）证明：如果A可逆，则AB与BA相似。2六．（20分）在2维线性空间P上定义变换：⎛1−1⎞AX=⎜⎟X⎝−11⎠2(1)证明A是

47、一个线性变换；2(2)求值域A(P)的一组基和维数；−1(3)求核A(0)的一组基和维数；22−1(4)证明：P=A(P)+A(0)3