高等代数专题研究模拟试题

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1、高等代数专题研究模拟试题一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1.下列法则中，哪个不是上的二元代数运算？（）（A）（B）（C）（D）2.设是线性空间的线性变换，是的分别属于特征值与的特征向量，则（）.（A）若与线性相关，则；（B）若与线性无关，则；（C）若与线性相关，则；（D）若与线性无关，则.3.全体正实数对于下面定义的加法和标量乘法：，构成上的线性空间，则它的维数是（）.（A）0（B）1（C）2（D）34.如果线性空间上的线性变换在的一组基下的作用为：那么在基下的矩阵为（）.（A）（B）（C）（D）5.设为欧几里得空间，是

2、中的任意向量，则下列式子不成立的是（）.（A）（B）（C）（D）一、填空题（本题共20分，每小题4分）1.正交矩阵的行列式等于.2.设为两个不相等的常数，则多项式被除所得余式为.3.同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是的.4.若矩阵与相似，则的行列式.5.设，，则.二、计算题（本题共45分，每小题15分）1.求多项式的所有有理根.2.已知；.求（1）的一组基与维数；（2）的一组基与维数；（3）与的一组基与维数.1.设，求一个正交矩阵，使得是一个对角矩阵.一、证明题（本题15分）设是阶正定实对称矩阵，为阶实反对称矩阵（），证明：是正

3、定实对称矩阵.高等代数专题研究模拟试题答案一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1.D2.C3.B4.A5.D二、填空题（本题共20分，每小题4分）1.2.3.相合4.5.三、计算题（本题共45分，每小题15分）1.解：，.根据定理2.9.4，的有理根只可能是：，，，，，.依此代入检验可得，，.因此的有理根是，.2.解：（1）线性无关，因此，即为的一组基.（2）线性无关，因此，即为的一组基.（3），一组基为，，一组基为.3.解：因此的特征值为，，.当时，解方程组，得一组基础解系为，单位正交化可得，当时，解方程组，得一组基础解系

4、为单位正交化可得以为列，可得正交矩阵，且为对角阵.一、证明题（本题15分）证明：因为是正定实对称矩阵，所以.为阶实反对称矩阵，，从而因此是实对称矩阵.对于任意维列向量，有故是正定实对称矩阵.