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1、高等代数专题研究模拟试题高等代数专题研究模拟试题一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.不等式的解集是( )．(A) (―¥,―)(B)(―¥,―)È(0,+¥)(C)(－)È(0,+¥)(D)(―,0)2.设一个代数体系(R,+,×)，下列条件中，不是环的定义必须满足的条件为( )．(A)"a,bÎR，a+b=b+a(B)在R中存在一个零元素q，使得"aÎR,有a+q=q+a=a(C)在R运算×对+满足分配律(D)"a,bÎR，a×b=b×a3.以下结论正确是( )．(A)实系数奇次多项式至少有一个实数根(B)任何实系数n(n>0)次多项式至少有一个实数根(C)任何
2、复系数n(n>0)次多项式至少有一个实数根(D)复系数n(n>0)次多项式一定有n个不同复数根4.分配4个学生到3个不同单位实习，不同的分配方式有( )．(A)(B)34(C)(D)5.从m个正整数a1,a2,…,am中任意取出m+1个数，则( )．(A)至多有两个或两个以上的数相同(B)只有两个数相同(C)至少有两个或两个以上的数相同(D)相同的数必有m个二、填空题(每小题3分，本题共15分).6设函数f(x)在区间(a,b)上定义，如果q1³0,q1³0,且q1+q2=1,对任意(a,b)上的x1，x2,都有 ，则称函数f(x)在(a,b)上是
3、上凸函数．7.设R是整环，如果对R中的元素a，存在R中的元素b，使得 ，则称a是可逆元素．8.有第1,2,3,4,5，6,7分册的全集五套，从每套中取一本，那么共有 种不同取法．9.重新排列1,2,3,4,5,6,7,8，使得奇数在自己的位置上，而偶数不在自己位置上的排列有 个10.多项式(x1+x2+…+xt)n展开合并同类项后的项数为，那么该多项式是 ．三、简述题(每小题5分，共10分)11.试用不等式表述均值不等式(几何平均数不超过算术平均数)．12.试表述可重复全排列计算公式的含意．四、计算题(每小题10，本题共40分)
4、13.设集合A=｛a1,a2,a3｝，B={b1,b2}，试写出A到B的所有不同映射，并指出为单射、满射和双射各有几个？14.设正实数x,y,z，且x+y+z=2，求函数．f(x,y,z)＝2x2+3y2+9z23高等代数专题研究模拟试题的最小值．15.求剩余类环Z8上的多项式的根．．16. 求1到1000的整数中不能被14且不能被21整除的数的个数．五、证明题(每小题10分，本题共20分)17.设集合M={(x,y)½x,y是有理数}，在M上定义运算Ä，任意M上的元素(x,y),(a,b),(a,b)Ä(x,y)=(ax,ay+b)证明(M,Ä)是代数体系．并证明Ä在M上
5、可结合，不可交换．18.设R是一个整环，R中任何两个元素都存在最大公因式，则对R中任意元素a，b，c，有 ((a,b),c)~(a,(b,c))高等代数专题研究模拟试题答案一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.B．2.D．3.A．4.B．5.C．二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. f(q1x1+q2x2)³q1f(x1)+q2f(x2)． 7. a×b=b×a=1．8.． 9.9． 10. (x1+x2+x3)7 ．三、简述题(每小题7分，共14分)11.设有n个正实数a1,a2,…,an， (1分)则(4分)且只有当a1=a2=…=
6、an时取等号．(5分)12. 设r1个b1和r2个b2，且r1+r2=n的集合S，则S的元素的全排列个数为 (5分)四、计算题(每小题10，本题共40分)13. 所有映射为s1：a1®b1，a2®b1，a3®b1；s2：a1®b2，a2®b1，a3®b1；s3：a1®b1，a2®b2，a3®b1；s4：a1®b1，a2®b1，a3®b2；s5：a1®b2，a2®b2，a3®b1；s6：a1®b2，a2®b1，a3®b2；s7：a1®b1，a2®b2，a3®b2；s8：a1®b2，a2®b2，a3®b2；(8分)单射和双射没有．满射有6个．
7、 (10分)14. x+y+z= (2分)由柯西不等式 ³ (7分)所以，2x2+3y2+9z2³．所求2x2+3y2+9z2的最小值是． (10分)15.Z8={}，(3分)Z8中使得多项式f(x)=为0的均为其根．经验证，，,,,3高等代数专题研究模拟试题(8分)可知所求全部根为． (10分)16. 设S={1,2,3,…,1000}，A,B分别表示S中能被14和21整除的整数集合．(2分)则 ， ， ，(5分)所求为 ＝(1
