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1、（2012.12.10）高等代数专题研究期末复习指导（文本）赵佳：今天的教学活动开始了！各位老师、同学们：下午好！现在是髙等代数专题研究教学活动时间。今天的教学活动主要是针对期末复习，介绍一些复习考试中需要注意的要点，并解析一套模拟试题。欢迎大家积极参与！改版说明高等代数专题研究改版了，课程教学大纲和考核说明都做了大面积的修订。现在使用的教材是中央广播电视大学出版社出版的，张庆成编的《高等代数专题研允》。期末考试命题也是以这本教材为准，考核的知识点不会超出此范围。考核方式本课程考核分为两种方式，形成性考核与终结性考试。形成性考核占综合成绩的30%,终结性考试
2、占综合成绩的70%,综合成绩须达到60分及以上（及格），方可获得本课程相应学分。终结性考试采用半开卷笔试方式，吋间为90分钟。本学期期末考试时间2013年1月11日8:30——10:00考试时间只有90分钟，要注意合理安排答题的进度。试题类型期末考试有四类题型，分别是单项选择题、填空题、计算题和证明题。其中，单项选择题每小题4分，共5题；填空题侮小题4分，共5題；计算题每小题15分，共3题；证明题每小题15分，共1题。试题难易适中，一般來说，容易占45%,中等占40%,较难占15%复习要点下面依次介绍各章的复习要点。大家要注意体会和把握，抓住考试屮常出现的知
3、识点,进行有针对性地复习。第一章复习要点1•代数运算本质上就是一种映射.对于非空集合川来说，若f.A^A^A是T上的二元a代数运算，则对于川中任意两个元素a和3,有唯一确定的T中的元素他®与之对应./@丄）即为a和方在/所定义的运算下得到的结果.当a和b取定时，/@方）必须杲确定的，唯一的，且属于£・2.笛卡尔积不相等，只有当A=B时才相等.它们的元叢都是有序数对，不能交换位萱*3.当刃，$都是有限集时，一打山与Bx刃所包含的元素个数是相同的，都等于（
4、J
5、表示集合月的元素个数）”4.数学归纳法由两个环节组成，超推起点和归纳假设.在证明间题时，二者缺一不可*
6、第二章复习要点1.定理2.4.2是最大公因式的存在表示定理，它的重要性在于它明确地给出了计算任意两个多项式的最大公因式的一般方法,而且把最大公因式表示为这两个多项式的组合.与定理2.4.2相似的是定理2.4.3,它描述的是两个多项式互素即最大公因式为非零常数的情形•但要注意的是定理2.4.3给出的杲充要条件，而定理2.4.2只是充分条件.a1.一个多项式是否可约，依赖于系数所在域.例如,x：-2在Q[.p中是不可约多项式,但在R[x]中则是可约的，因为工-2=
7、x-JT
8、
9、x+dl・因此，谈及可约或不可约的概念时，一定要明确是针对哪个系数域而言的2.因式分解
10、圧唯一性定理证明了一元多项式因式分解的存在唯一性，但并没有给出统一有效的因式分解的方法，需要具体情况具体分析2对于复系数多项式来说，我们有门^2.8.3每个次数大于0的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解为一次因式的乘积・a由推论2.7.2根与一次因式的关系可知，我们要求出复系数多项式的所有根.a对于实系数多项式来说，可先把它看作复系数多项式，求出它的所有根.由于实系数多项式的共純虑根成对出现，将它们对应的一次因式两两结合，即可得卩定理2・8・7每个次数大于0的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解为一次因式与二次不可约因式的乘积”对于有理系数多项式来说，
11、我们先将其分解为一个有理数和一个本原多项式的乘积，进而转化为肴察整系数多项式的因式分解.定理2.9.4给出了求整系数多项式的全部有理根的方法，从而可得整系数多项式的全部一次有理因式.需要注意的是，如果整系数多项式的次数大于3,那么不能以它没有有理根就推出它不可约的结论。因为它没有有理根，只杲说明它没有一次因式，但杲它可能有次数大于1的因式，从而它可能杲可约的艾森斯坦因判别法给出了判定一个整系数多项式在有理数域上是否不可约的一个充分条件，但不杲必要条件，也就是说，找不到定理2.9.5中的素数p,多项式可能是可约的,也可能是不可约的.例如多项式▽-1与&-3工都
12、不存在定理2.9.5中的素数p,但前看在苞理数域上不可约，后看却是可约.在实际•可题中，常常不能直接运用艾森斯坦因判别法，而是要经过简单的变换.需更注意的是，所用变换必须是可逆的，这样，变换后的多项式的可约性与原多项式的可约性才能保持一致.*对于次数校高的有重因子的多项式/(X)，可以用(/(X)丿3)代替/(©,因为/(X)/(.Y)有相同的不可约茁又不含重因式，次数低于/(工)，使得因式分解变得简单，甚至变不可能为可能.4.如果不可约多项式p(©是/(X)的斤重因式(k>1I,则p(x)是导数厂(©的—1重因式，特别地，多项式/(对的单因式不杲它的导数的
13、因式.因此，f(x)的重因式与l/(x)J'(x)i
