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1、6高代(3)高等代数专题研究试题模拟试题(05春)一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.如果函数f(x)满足条件：对任意x1与x2，有其中()，则称f(x)是上凸函数．(A) (B) 且(C)且(D)且2.下列环中是非交换环的为()(A)整数环Z(B)剩余类环Z5(C)n阶方阵环(D)高斯整数环Z[i]={a+bi½a,b为整数}3.剩余类环Z8的一个真零因子是()．(A)(B)(C) (D)4.一副扑克牌有红桃、黑桃、方片和梅花各13张，共52张．从中任取一张，则不同取法有()种．(A)52(B)4(C)134(D)4135.将r个不可区分的小球投入
2、n个盒子，每一个盒子的容量不超过一个球(n³r)，若计算有多少种不同投球方式，应该用()．(A)允许重复组合数公式(B)不重复组合数公式(C)允许重复排列数公式(D)不重复排列数公式二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.设a1,a2,…,a5是正实数，可构造两组正实数列和．用柯西不等式，证明．7.若(a,b)~1，那么(a,a+b)~ ．8.在有无穷多个元素的域上，设多项式f(x)=anxn+an－1xn－1+…+a0和g(x)=bnxn+bn－1xn－1+…+b0，从代数学的观点，如果 ，则称f(x)=g(x)．9. p是有理数域上的
3、超越元，是因为p不是 多项式的根．10.计算＝ ．三、简述题(每小题5分，共10分)11.试列出三种证明不等式常用的方法．6高代(3)12.找出整数环Z中的可逆元素，并说明为什么是可逆元素．四、计算题(每小题10，本题共40分)13.设集合A={Æ，a，{a},b}，求P(A)．14.设x，y，z为非负实数，且满足x+2y+5z=6求f(x,y,z)=xyz的极大值．6高代(3)15.求f(x)=的重因式．16.试求多项式(x1+x2+x3+x4+x5)10展开合并同类项后的项数以及的系数．四、证明题(每小题10分，本题共20分)17
4、.设是实数集，是正实数集，任给的元素x,令映射s(x)＝证明s是到的双射．6高代(3)18.证明恒等式．高等代数专题研究模拟试题（05春）参考答案一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.B．2.C．3.D．4.A．5.B．二、填空题(每小题3分，本题共15分)6高代(3)6.，．7.1．8.ak=bk(k=0,1,2,…,n)．9. 任何有理系数．10.．三、简述题(每小题5分，共10分)11.列出三种或三种以上的方法，可得满分5分．参考方法列举：(1)欲证A>B，可证A－B>0；(2)当A>0,B>0时，欲证A>B，可证；(3)欲证A>B，可证A>C,C>B；(
5、4)欲证A>B，可将A－B化为(A－B)2；等．12. 在整数环Z中，只有1和－1是可逆元素．1是恒等元．因为1和－1都不是零元，但(－1)×(－1)=1，1×1＝1，根据可逆的定义知道，它们是可逆元素．(5分)四、计算题(每小题10，本题共40分)13. 由幂集合的定义，P(A)={Æ,{Æ},{a},{{a}},{b},(2分){Æ,a},{Æ,{a}},{Æ,b},{a,{a}},{a,b},{{a},b}(6分){Æ,a,{a}},{Æ,a,b},{Æ,{a},b},{a,{a},b} (9分){Æ,a,{a},b}} (1
6、0分)14.利用均值不等式x+2y+5z³ (3分)(9分)当x=2y=5z时，得x=2,y=1,z=时，xyz的极大值是．(10分)15. 只要求出f(x)与f¢(x)的公因式即可．(1分)(4分)而 ，有(f(x),f¢(x))~(x－1)(8分)所以x－1是f(x)的二重因式．(10分)16. 所求项数为(5分)的系数为(10分)四、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 由对数函数的定义域和函数值，知s(x)＝是到的映射．(2分)(1)任给的两个元素x1,x2且x1¹x2，由对数函数的严格单调性，有这表明s(x)＝是单射．(6分)(2)任给的元素y，则存在
7、属于，则有s(x)=6高代(3)这表明s(x)＝是满射．(9分)总之，s是到的双射．(10分)18. (4分)＝(7分)＝．(10分)
