数学分析中递推关系应用的教学研究new

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1、万方数据第15卷第5期V01．15No．5鄂州犬4#‘‘#撤JournalofEzhouUniversity21)08年9川Sep．2008数学分析中递推关系应用的教学研究吴雪芹(鄂州大学计算机科学系，湖北鄂州436000)摘要：该文主要对《数学分析》中的递推关系的应用进行分类、整理，且针对不同的应用类别进行相应的解析，以便为《数学分析》教学提供参考。关键词：数学分析；递推关系；分类中图分类号：0171文献标识码：A文章编号：1008—9004(2008)05—0049—021引言作为数学的一种思想一递推思想体现了世界上许多事物变化所遵循的一

2、种前因和后果的关系．因此具有广泛的应用。递推关系在众多数学分支如组合、概率、几何、矩阵中起重要的作用。也在诸如信息科学领域中显示独特魅力。因此．学好递推关系不仅可以提高我们的数学素养．更对今后进行学术问题的推广起着举足轻重的作用。本文丽绕在数学分析教学中常遇到一些涉及利用递推关系才能解决的问题。分别从求极限，求导数，求积分i个方面对递推关系的应用进行归类，解析。定义1：给定一个数的序列日(o)，日(1)，⋯n(n)，⋯，用等号(或大于，小于号)将日∞)和某些个日(0，o≤i≤n，联系起来的式子就叫做一个递推关系。m定义2：利用递推关系来解决一

3、些数学问题的方法称为数学递推法。数学递推法是数学分析巾的一种乖要的解题方法，．现在。根据《数学分析》巾的递推火系的应川，从内存1-将JE分成i大类别。2求解递推形式的极限在数学分析中的数列极限常用递推形式给出。计算这类序列的极限是数学分析的难点问题。这里介绍两种常用的方法。2．1利用单调有界原理啡篮单调有界原理：单调有界序列必有极限。若{％}为递增序列．且茗。≤肘(n=l，2⋯)，则堕‘存在而且不超过M。若{‰J为递减序列，且茹。苫肘(n=l，2⋯0，则溉矗存在而且不小于M。如果{聋。}满足单调有界原理，那么先证明其递推序列的极限存在，然后在

4、递推公式里取极限，便可得极限值A应满足的方程。解此方程．以求极限值A。例l：证明序列‰=l，菇一=、／氖。n--O，1．2⋯并求其值。唧证明：1)显然O、V／；=1，故‰T。z“茗nV算nZ3)利用单调有界原理，知k}收敛。记A=!ira‘，在髫n-佤中取极限得从而A=何，)A而A--0或2。4)因她。T，所以J嘲不合题意，极限憋‘-2。2．2利用压缩映像原理(不动点原理)附不动点原理：若存在常数r：O

5、一切乃∈N，有J名。，叫。lz--r[x。一．卜，l，则{％J收敛。注意：1){％l的单调性，常通过z。吖+．的符号来鉴别；若‰≠0．也可用M是≥(或≤)来证明。戈¨2)若递推公式由一元nf微函数给}I；x。可Ix。I)，则I叮通过厂的导数厂，的符号来考察单调性。若存在实数r，使得扩’(x)I≤r<1，则应用微分中值定理可知f‰}满足压缩映射像的条件：I％卅一‰I=I厂(屯)一厂(矗一。)f=I，’(f)

6、I％一矗一。I≤，．k-x,一l

7、不过，这时必须验证，{‰】是否保持在扩’(茗)I≤r成立的范围之内。例2：证明：若y(髫)在区间l=[a

8、-r,a+d上可微，扩’(膏)I≤a

9、j-----o'+(I—a)r=r。P,Px。I∈，。这就证明了：一切髫。∈，。应用微分中值定理，j‘在x．，石。．之问(从而∈∈，)：lXn+．一Xnl=l，(‘)一／(‘。)卜f，’(掌)(‘一‘一。)J≤口I‘一Xn—lI(o

10、的递推关系。例3：i爱f(x)=(arcsinx)2，灯“’(o)。解：町’(x)=2垒等型‘得(1-省2矿’2(z)=可(z)(2)VI叫“再求一次导数．整理有：