σ-仿lindelf空间的tychonoff乘积new

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1、第18卷第3期数学研究与评论Vol.18No.31998年8月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONAug.1998σ2仿Lindel¨of空间的Tychonoff乘积X朱　培　勇(自贡师专数学系,四川643000)摘　要　本文主要获得了两个拓扑空间的Tychonoff乘积是σ2仿Lindelof¨空间的三个定理.关键词32空间,σ2局部有限基,ortho基,σ2仿Lindelof¨空间,强Σ2空间,P2空间,PC2分散.分类号AMS(1991)54D18,54E35/CC

2、LO189.11自1969年K.Nagami在[1]中研究两个仿紧空间的乘积以来,用覆盖刻画的拓扑空间的乘积性研究已取得重大进展.特别是近年来论文[2,3,4]的发表,使两个亚紧、次亚紧、亚Lindelof¨空间的Tychonoff乘积得到了一些很好的结果.但是,由于局部有限、点有限、点可数与局部可数之间的本质区别,仿Lindelof¨空间的乘积性研究至今没得到较好的结果.本文主要讨论σ2仿Lindelof¨空间的Tychonoff乘积性质,获得了如下三定理:定理1若X是σ2仿Lindelof¨的P2空间,Y是σ2可膨

3、胀的强Σ2空间,则X×Y是σ2仿Lindelof¨空间.3定理2若X是σ2仿Lindelof¨的P2空间,Y具有σ2局部有限基,则X×Y是σ2仿Lindelof¨空间.定理3设X,Y都是具有ortho基的σ2仿Lindelof¨空间,如果X是正则C2分散的,则X×Y是σ2仿Lindelof¨空间.本文用(U)W,U

4、Y,N(K)分别表示集族{U∈U:W∩U≠Á},{U∩Y:U∈U}和集合K的开邻域系;(U)x,N(x)分别表示(U){x}和N({x});N和ω分别是自然数集和第一无限序n数;

5、A

6、,AŠ,IntA依次表

7、集合A的基数,A的闭包和A的内部;对于n∈N∪{ω},记A={a:a是由n到A的函数}.本文所涉及的拓扑空间都假设是T2的.[5]定义1拓扑空间X的集族U称为局部可数的,若Px∈X,存在W∈N(x)使得

8、(U)W

9、≤ω;X称为是σ2仿Lindelof¨的,若X的每个开覆盖U有一个开加细∪Vn使得每个Vnn∈N是局部可数的.这时称∪Vn是U的σ2局部可数开加细.n∈N[6,7]3定义2拓扑空间X称为是P2空间(P2空间),若对于每一个指示集Ω及X中满足i下列条件的开集族:{U(α1,⋯,αi):(α1,⋯,αi)∈Ω且i

10、∈N},其中i+1U(α1,⋯,αi)

11、)=X(P3U(α1,⋯,αiF(α1,⋯,αi2空间,且要求有i∈Ni∈N∪IntF(α1,⋯,αi)=X).i∈N[1]定义3若拓扑空间X存在局部有限闭覆盖的序列{Fi}i∈N使得Px∈X,C(x)=∩(∩(Fi)x)是紧的且对于每个单调递减的非空闭集列K1=K2=⋯=Ki=⋯,当Pii∈N∈N,Ki<∩(Fi)x时恒有∩Ki=Á,则称X是强Σ2空间.其中{Fi}i∈N称为X的强Σ2网.i∈N[1]引理1若X是强Σ2空间,则X有强Σ2网{Fi}i∈N和指标集Ω使得Pi∈N满足如下三条件:i(1)Fi={F(α1,⋯

12、,αi):(α1,⋯,αi)∈Ω};i(2)F(α1,⋯,αi)=∪{F(α1,⋯,αi,αi+1):αi+1∈Ω},P(α1,⋯,αi)∈Ω;ω(3)Px∈X,存在(α1,⋯,αi,⋯)∈Ω使得下列二成立:(i)x∈∩{F(α1,⋯,αi):i∈N}(ii)C(x)=∩(∩(Fi)x)是紧的且PU∈N(C(x))存在i∈N使得i∈NC(x)

13、B

14、<ω}.称集族A是定向的,若A加细A.设B是空间X的一拓扑基.称B是ortho基,若它是内部保持的;称B是σ2局部

15、有限基,若B=∪Bn,其中每个Bn是局部有限的.n∈N关于σ2可膨胀空间和C2分散(C2scattered)的概念和有关陈述请参考[8]和[9].下面证明本文的主要结果.引理2X是σ2仿Lindelof¨空间当且仅当X的每个定向开覆盖有一个σ2局部可数开加细.这引理是定义1和定义4的直接结果.现在来证明定理1.定理1的证明　设U是