lesson3(乘积空间与拓扑基)

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1、111oooµµµ¦¦¦ÈÈÈmmmÿÿÿÀÀÀÄÄÄ-ÿÀħÄ-üÿÀm¦È-¦ÈmÄ5-êúnÿÿÿÀÀÀÄÄħ§§ÄÄı´§Ø1"ÝþÿÀµn)¥/Òn)ëY5"6/µn)ÛÜIXÒn)ëY5"½½½ÂµµµxÄ´xxU,¦x?ÛѹU¥"½½½Âµµµ8ÜXf8xB)¤f8x´B={U⊆X

2、U´B¥eZ¤¿8}.eXþÿÀ§¡B8ÜXÿÀÄ"eXþÿÀτ,K¡BÿÀm(X,τ)ÿÀÄ"~~~µµµÝþm¥x¥/¤xÄN¥/¤ÝþÿÀÿÀÄ"~~~µµµ6/þ¤k/±½

3、ÂNÛÜIX0mf8¤ÿÀÄ"~~~µµµ8Üþ¤kü:8¤lÑÿÀÿÀÄ"···KKKµµµB´ÿÀmYÿÀħKNf:X→YëY¿^´ézB∈B,f−1(B)´m8···KKKµµµf8xB´8ÜXÿÀÄ=S(1)B∈BB=X(2)eB1,B2∈B,KB1∩B2∈B.SSSy²µI5¿(Bα)∩(B0)=(Bα∩B0).ββ···KKKµµµf8xB´ÿÀm(X,τ)ÿÀÄ¿^´B⊆τ¿τ⊆B.~~~µµµRf8xB={[a,b)

4、a,b∈R}.S§´RÿÀħÏB∈BB=R,[a1,b1)∩[a2,b2)=[max(a1,a2),min(b1

5、,b2)).´τe$B$2R.~~~µµµeB´(X,τ)ÿÀħA⊆X,K{A∩U

6、U∈B}´(A,τA)ÿÀÄ"···KKKµµµXÿÀÄB1,B2)¤ÓÿÀ=B1⊆B2¿B2⊆B1,d¡§d"~~~µµµE2¥m¥/Úm/B={U×V

7、U,V⊆R´m«m}´dÿÀÄ"¦¦¦ÈÈÈmmm½ÿÀm(X1,τ1),(X2,τ2)§(kÈX1×X2={(x1,x2)

8、xi∈Xi}5½Ýji:X1×X2→Xi,(x1,x2)7→xi.ej1,j2ÑëY§KéuU1∈τ1,U2∈τ2,Ij−1(U−11),j(U2)Ñ´m8.P÷vù¦12ÿÀÄB.···

9、KKKµµµB={U1×U2

10、Ui∈τi}.§)¤ÿÀB¡¦ÈÿÀ§¡(X1×X2,B)¦Èm§P(X1,τ1)×(X2,τ2).y²µI5¿?U1×U2,V1×V2∈B,U1×U2∩V1×V2=(U1∩V1)×(U2∩V2)∈B.~~~µµµî¼mEn+1=E×En.~~~£££¤¤¤µµµeBi´(Xi,τi)ÿÀħK{B1×B2

11、Bi∈Bi}´¦ÈmÿÀÄ"~~~µµµÝþm(X,d),(Y,d)¦ÈÿÀdÝþd((x,y),(x0,y0))=max(d(x,x0),d(y,y0))p"¯¢þ§¡B((x0,y0),)=BX(x0,)×BY(y0,),,

12、¡BX(x0,)×BY(y0,δ)=[{B((x,y),η(x,y))

13、d(x,x0)<,d(y,y0)<δ}ùpη(x,y)=min(−d(x,x0),δ−d(y,y0)).u´·dü

14、ÿÀħ)¤TÝþÿÀ§þ~Ñ,)¤¦ÈÿÀ"'''uuuÃÃá¡¡¦¦¦ÈÈÈ£££ØØؤ¤¤µµµaq±½ÂkõÿQÀm¦È§uá¦È§(kÈλ∈ΛXλþ¦ÈÿÀ(TychonoffÿÀ)dÿÀÄYB={Uλ

15、Uλ∈τλA¤kUλ=Xλ})¤§ùpA¤k==k~"YB0={Uλ

16、Uλ∈τλ}´ÿÀħ)¤ÿÀ¡ÿÀ"¦¦¦ÈÈÈmmmÄÄÄ555d½Â

17、Ýji:X1×X2→XiÑëY§´mN§=rm8Nm8"eY´ÿÀm§f:Y→X1×X2´N§K¡fi=ji◦f:Y→Xif©þ"½½½nnnµµµfëY=ü©þf1,f2ÑëY"y²µ75´ÏEÜNëY5"L5ü©þÑëY§KIy@ÿÀÄB¥'uf´m8§ù´Ïf−1(U−1−11×U2)=f(U1)∩f(U2).12íííØØصµµ∀b∈X2,üib:X1→X1×X2,x7→(x,b)´iN"y²µ=yéAib:X1→X1×{b}´Ó"i−1=jb1

18、X1×{b}ëY"ibü©þj1◦ib£ðÓ¤Új2◦ib£~¤ëY§Ïdy"êê

19、êúúúnnnêêêúúúnnn-C1ún:∀x∈X,xäkêÄ-C2ún:X£ÿÀm¤äkêÿÀÄC1¿Â3u±¦^S4xëY5!~~~µµµÝþm÷vC1únµz:x?ı{B(x,1)

20、n∈N}"n~~~µµµ6/÷vC1ún§Ïz:k´Ýþm"···KKKµµµ3C1m¥z:?Ñk/4ü0Ä{Un

21、n∈N},÷v∀m>n∈N,Um⊆Un"y²µr5êÄ{Vn

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