w-like空间可数积的lindelf性质

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1、第19卷第2期数学研究与评论Vol.19No.21999年5月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONMay1999XW-Like空间可数积的Lindelobf性质彭　良　雪(首都师范大学数学系,北京100037)摘　要:(1)X是W-Like空间,则bX是Lindelobf空间;(2)若Xn,n∈N是W-Like空间,则∏Xn是Lindelof空间.n∈N关键词:K-Like空间,b(X,T).分类号　AMS(1991)54B10öCLCO189.11文献标识码:A文章编号:10002341X(1999)02204282031　引　言在[

2、1],[4]中引入并讨论了K-Like空间,证明了紧2Like空间的有限积是Lindelobf空间,人们自然想到可数积问题,本文证明了W2Like空间的可数积是Lindelobf空间.X让K是空间类,满足X∈K,则闭子集族2AK.I-代表所有单点空间及空集构成的类;W-所有可数空间类.2定义　A∈X为偶数(奇数):如果有n∈X,k∈X,使A=nX+2k(nX+2k+1).2定义1有两局中人É与Ê,交替选取X的子集构成序列(EA:A∈X)中的相邻项,使得22每个局中人选择EA+1时已经知道K,E0,E1,⋯,EA,A〈X.若满足下述条件,则称(EA:A∈X)为3G(K,X)中的局.E0

3、=X,对A∈X,n∈X,有:(1)EnX+2A+1是局中人É选取的;(2)EnX+2A是局中人Ê选取的;(3)EnX+2A+1∈K;X(4)EnX+2A∈2;(5)EnX+2A+1

4、期:1998203218—428—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.33略集),此时称X为K2Like空间.当每一局都形如(En:n∈X)时,K2Like就是[1]中的K-Like空间.[2]定义2给定拓扑空间(X,T),b(X,T)代表由(X,T)的GD2集生成的拓扑,有时T没有提到,用bX代表b(X,T).[5]定理3Xn是LindelobfP2空间,n∈N,则∏Xn是Lindelobf空间.n∈N3定理4X是W2Like空间,则X是I2Like空间.31证明　令S∈I(W,X),E0=A

5、0=X,下面定义t∈I(I,X),E1=S(E0)∈W.令E1={xk:k123∈N},A1=t(A0)={x1}.对p∈X,p是奇数及n∈X,有G(I,X)中容许列(A0,A1,⋯,Ap)与2m+1G(W,X)中容许列(E0,E1,⋯,E2n+1)满足E2m+1=S(E0,E1,⋯,E2m)={xk:k∈N},m≤n.对2m+1q〈p,q是偶数,有最小的m≤n,使E2m+1∩Aq≠Á.令kq=min{k:xk∈Aq,k∈N}.Aq+1=2m+1{xk}=t(A0,⋯,Aq),Ap∩E2m+1=Á(m〈n),对X中的闭集Ap+1,(A0,A1,⋯,Ap,Ap+1)是q32n+12n+

6、1G(I,X)中容许列.若Ap+1∩E2n+1≠Á,令Ap+2={xk},其中kp+1=min{k:xk∈Ap+1,kp+12n+3∈N}.若Ap+1∩E2n+1=Á,令E2n+2=Ap+1,Ap+2={x1},其中E2n+3=S(E0,⋯,E2n+2)=2n+33{xk:k∈N}.定义t(A0,⋯,Ap,Ap+1)=Ap+2.如此进行下去,得到G(I,X)中局(A0,A1,⋯,2Ap,Ap+1,⋯)及G(W,X)中局(E0,E1,⋯,En,⋯)满足t(A0,⋯,Ap+1)=Ap+2,p∈X是奇数.2E2n+1=s(E0,⋯,E2n),n∈N.任意n∈N,存在p∈X,p是奇数,使Ap

7、+1=E2n.而∩E2n=Á,因233此∩{Aq:q∈X,q是偶数}=Á.因此t∈I(I,X),X是I2Like空间.3在[4]中给出了W2Like非I2Like的例子,上述定理说明I2Like未必是I2Like空间.规定若d(u)=(E0,E1,⋯,En),d(u)ÝEn+1=(E0,⋯,En,En+1).定理5(X,T)是W2Like空间,则bX是Lindelobf空间.33证明　由定理4知,X是I2Like空间,令s∈I((I,X).设U是bX基中元