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1、2005年9月重庆师范大学学报(自然科学版)Sep.2005第22卷第3期JournalofChongqingNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.22No.33关于一类不可微规划问题的对偶性12杨新民,KOKLAYTEO(1.重庆师范大学校长办公室,重庆400047;2.澳大利亚Curtin理工大学数学与统计系,WA6102,澳大利亚)摘要:作者构造了一类不可微规划问题的一阶和二阶对偶模型,其目标函数含有紧凸集的支撑函数项。利用FritzJohn最优性必要条件,在适当条件下建立了这两类一阶和二阶对偶模型的弱和逆对偶性定理。关键词
2、:一阶和二阶对偶模型;对偶性定理;不可微规划问题;广义凸性中图分类号:O221.6文献标识码:A文章编号:167226693(2005)0320018207OnDualityinAClassofNondifferentiableProgrammingProblem12YANGXin2min,KOKLAYTEO(1.PresidentOffice,ChongqingNormalUniversity,Chongqing400047,China;2.DepartementofMathematicsandStatistics,CurtinUniversityofTechnology,W
3、A6102,Australia)Abstract:Inthispaperfirstorderandsecondorderdualmodelsinaclassofnondifferentiableprogramsinwhicheverycom2ponentoftheobjectivefunctioncontainsaterminvolvingthesupportfunctionofacompactconvexsetareformulated.WeusetheFritzJohnnecessaryoptimalityconditionstoestablishweakandconver
4、sedualitytheoremsforthetwotypesofdualmodelsundersuitableconditions.Keywords:firstandsecondorderdualmodels;dualitytheorems;nondifferentiableprogrammingproblems;generalizedconvexity在文献[1]里,Mond考虑了下面一类不可微数学规划问题1T(MP)minimizef(x)+(xBx)2s.t.g(x)≥0nnm其中x∈R,f和g是分别从R到R和R的二次可微函数,B是一个n×n半正定(对称)矩阵。许多作者
5、对不可微规划问题(MP)给出了最优性条件和对偶定理以及各种推广。近年,Mangasarian在[3]文献[1]里,第一个提出了非线性二阶对偶模型,Mond在“二阶凸性”条件下,证明了二阶对偶定理。后[4][5]来,Mond和Weir给出了一类新的二阶对偶模型。最近,Zhang和Mond对不可微规划问题(MP)提出了一般的一阶和二阶对偶模型并在较弱的条件下建立了弱、强和逆对偶定理。Mond和Schechter在文献[6]里研究了目标函数包含支撑函数的不可微规划问题的对称对偶性。在这[6][5]篇文章里,基于Mond和Schechter的思想以及Zhang和Mond的工作,考虑下面
6、更一般的不可微规划问题。(P)Minf(x)+s(x
7、C)s.t.g(x)≥0nmn其中,f和g是分别从R到R和R的二次可微函数,C是R上的一个紧凸集。s(x
8、C)表示C的支撑函数T在x的值,其中支撑函数定义为s(x
9、C)={xw
10、w∈C}。3收稿日期:2005207206资助项目:国家自然科学基金(No.10471159);教育部“新世纪优秀人才支持计划”;教育部留学回国人员科研启动基金;重庆市自然科学基金。作者简介:杨新民(19602),男,四川泸州人,教授,博士,副校长,主要从事数学规划研究。第3期杨新民:关于一类不可微规划问题的对偶性19本文构造了这类不可微规划问题的一
11、阶和二阶对偶模型并在弱凸性条件下建立了它们的弱和逆对偶性定理。1一阶对偶性在这部分,将构造(P)的一个一阶对偶模型(GD1),并在广义(F,ρ)2凸性假设条件下,建立弱和逆对偶性结果。T(GD1)Maxf(u)-∑i∈I0yigi(u)+uwTs.t.¨f(u)+w+¨(yg(u))=0(1)∑yigi(u)≤0,α=1、2、⋯、ri∈Iαw∈Cy≥0rnm其中u,w∈R,y∈R,Iα
