一类非线性人口问题的渐近解new

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1、万方数据第33卷第4期应用数学学报V01．33No．42010年7月ACTAMATHEMATICAEAPPLICATAESINICAJuly,2010一类非线性人口问题的渐近解温朝晖(安徽财经大学统计与应用数学学院，蚌埠233030)(E-mail：wzh590624@sina．com)张伟江何铭(上海交通大学数学系，上海200240)(上海高校计算科学E-研究院SJTU研究所，上海200240)莫嘉琪(安徽师范大学数学系，芜湖241000)(E-mail：mojiaqi@mail．ahnu．edu．an)摘要本研究了—类非线奇摄动人口问题．在适当的条件下，首先求出了原问

2、题的外部解，然后利用伸长变量和幂级数展开理论构造出解的形式渐近展开式．最后利用微分不等式理论，讨论了问题解的—致有效性．关键词非线性；人口问题；渐近解MR(20001主题分类35825中图分类0175．291引言非线性奇摄动问题在应用数学界有广泛的研究．近来许多学者，如Zhang[¨，Am-mari，Kang和Touibi[引，Khasminskii和Yin[引，Marques[刮，Kasymov和Nurgabyl[5】以及Andrea[61已做了有很多的工作．利用微分不等式等方法莫嘉琪等人也研究了微分方程边值问题m，反应扩散问题【8】，椭圆型问题【驯，激波问题【10】，

3、生态问题【1l】和大气物理本文2006年1月9日收到．2010年3月1日收到修改稿．+国家自然科学基金(40876010)，中国科学院知识创新工程重要方向(KZCX2-YW-Q03-08)，公益性行业科研专项(GYHY200806010)，LASG国家重点实验室专项经费，上海市教育委员会B研究院建设计划(E03004)和浙江省自然科学基金(Y6090164)资助项目．万方数据578应用数学报33卷问题[121．今讨论如下非线性广义Ginzbur．Landan型人口问题[13,141：￡瓮=咄／k2U-I-a2△uA-a3△u3--uexp∞)+阢)uv-∽铲】，纶o，等卜

4、o，ulon=0，让=^(z)，t=0，z∈Q．(1)(2)(3)(4)其中z=(z1，z2，⋯，z。)∈Q，Q为R“中的有界凸域，aQ为Q的光滑边界，O／On表示012上的外法线导数，￡为正的小参数，“为人口密度，a为Laplace算子，ot(i=1，2，3)，P和q为常数，Q(t)，p(t)，7(￡)为光滑函数，上述参数和系数的物理意义参见[15】．设[H-]原奇摄动问题的退化问题：n1△2u—a2△牡=a3Au3一uexp[a(t)+Z(t)up一7(t)钍4】，等卜o，u]ou=0．2构造外部解令原问题(1)一(4)的外部解为(5)(6)(7)(8)其中Vo为退化

5、问题(5)一(7)的解．将(8)代入(1)一(3)，按￡展开非线性项，使等号两边关于￡的同次幂的系数分别相等，对于i=1，2，⋯，有其中n1△2巩一a2△阢+九(％)阢=鼠，i=1，2，⋯，筹I铀扎㈦，2’⋯，既18n=0，i=1，2，⋯，=盖hs△u3-t-uex出㈤+雕)up-∽uq)】，瓢鲁[03△(j妻=o％一)3一(妻％∥)唧卜∽+雕)(￡％一)一你)(妻％一)]])创．j=oJ=o(9)(10)(11)净Z巩∞∑：l～0ZU、l，@fI九R万方数据4期温朝晖，张伟江，何铭，莫嘉琪t一类非线性人口问题的渐近解579由线性问题(9)一(11)，我们能依次求出巩(i

6、=1，2，⋯)．由(8)，便得到原问题(1)-(4)的外部解c，(z，￡)．但它未必满足条件(4)，故还需构造初始层函数y．3构造初始层项引入伸长变量7．=t／￡并设将(12)代入(1)一(4)有u=u(z，E)+v(r，z，E)．掣+n1△2(u+y)～n2A(U+y)---a3a(u+y)3一(u+V)exp[a(t)+p@)(u+y)p一7(t)(u+y)9]，aAVl0AUI—I=一一1．OnIaQOnlaQ’Vlon=～UIan，V=h(x)一玩7．=0．(12)(13)(14)(15)(16)设∞y(下，z，s)一∑K(r，z)∥．(17)i=0将(8)和(1

7、7)代入(13)一(16)，按E展开非线性项，使等号两边关于E的同次幂的系数分别相等有尝+atA2Vo-n2AYo咱A(Uo+Vo)3∥7-+(％+Vo)exp[a(t)+n(t)(Vo+go)p一7@)(％+Vo)。】=一ala2Uo+a2AUo，0aVoa△％I—I=一一1．OnIanOn1013’VoIon=一UoIon．Vo=^@)一％，7-=0，筹+01毗咱△K+九(阱．郴=一al△2巩+a2△巩+瓦，i=1，2，⋯，尝I，一等1^^’江，，2，⋯，一I一一l口=l7⋯anIananlan’。一‘’4’’KIon=一