向量组的线性表示

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1、第三章向量组§3.1向量组及其线性组合一、向量及其运算1、向量：个有次序的数所组成的数组称为维向量，数称为向量的维数。分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量。注：（1）向量写成一行称为行向量：，写成一列称为列向量：（2）行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。（3）向量是一种特殊矩阵。2、线性运算和性质（等同于矩阵的线性运算）（1）向量的加法：（2）向量的数乘：二、向量组及其线性组合1、向量组：由有限个同维向量构成的组合，称之为

2、向量组，记或。【注】向量组和矩阵的关系：向量组2、线性组合给定向量组，对于任何一组实数，表达式称为向量组的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。3、线性表示给定向量组和向量，如果存在一组数，使则向量是向量组的一个线性组合，称向量能由向量组线性表示。4、定理1向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩。证明：略。（说明：）例1设，，，证明：向量b能由向量组线性表示，并求出表示式。证明：令，故方程的解为即：。5、向量组的等价：设有两个向量组及，若组中的每个向量都能由向量组线性表示，则

3、称向量组能由向量组线性表示。若向量组与向量组能互相线性表示，则称这两个向量组等价，记做。6、性质：（1）自反性；（2）对称性；（3）传递性。结论：若矩阵与矩阵行（列）等价【矩阵经初等行变换化成矩阵，称之为行等价】，则的行（列）向量组与的行（列）向量组等价。7、定理2向量组能由向量组线性表示矩阵的秩等于矩阵的秩，即。证明：此结论等同于有解。推论：向量组与向量组等价，其中，。例2已知向量组：，：证明：向量组与向量组等价。证：令，，由推论知即证，故，因此8、定理3设向量组能由向量组线性表示，则证：记，

4、向量组能由向量组线性表示即而，故。