向量组的线性表示.ppt

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1、nn定义1n个有次序的数a1,a2,,an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数a称为第i个分量.i分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.例如(1,2,3,,n)n维实向量(12i,23i,,n(n1)i)n维复向量第2个分量第n个分量第1个分量nn维向量写成一行，称为行向量，也就是行TTTT矩阵，通常用a,b,,等表示，如：Ta(a,a,,a)12nn维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用a,b,,等表示，如：a1a2aan注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同

2、的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.向量(n3)解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意代数形象：向量的平行移动的有向线段坐标表示式Ta(a,a,,a)12n空间(n3)解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合几何形象：空间代数形象：向量空直线、曲线、空间间中的平面平面或曲面T(x,y,z)axbyczdr(x,y,z)axbyczd一一对应TP(x,y,z)r(x,y,z)n3时，n维向量没有直观的几何形象．RnxxxxTx

3、xxR(1,2,,n)1,2,,n叫做n维向量空间．Tx(x1,x2,,xn)a1x1a2x2anxnbn叫做n维向量空间R中的n1维超平面．n维向量的实际意义确定飞机的状态，需要以下6个参数：机身的仰角()22机翼的转角()机身的水平转角(02)飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)所以，确定飞机的状态，需用6维向量a(x,y,z,,,)向量相等：=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn)零向量：容易验证向量的线性运算满足下面的运算规律:(1)向量加法满足1)交换律

4、;2)结合律()();3)对任一向量,有0;4)对任一向量,有()0;(2)向量的数乘运算满足1)1=;2)k(l)l(k)(kl);(3)向量的线性运算成立分配律1)k()=kk;2)(kl)=kl;上述,,均为n维向量,k,l均为实数.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如矩阵A(aij)有n个m维列向量mna1a2ajana11a12a1ja1na21a22a2ja2nAaaaam1m2mjmn向量组a

5、1,a2,,an称为矩阵A的列向量组.类似地,矩阵A(aij)又有m个n维行向量mnTa11a12a1n1Ta21a22a2n2ATai1ai2ainiTam1am2amnmTTT向量组1,2,…，m称为矩阵A的行向量组．反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.m个n维列向量所组成的向量组,,,,12m构成一个nm矩阵A(,,,)12mTm个n维行向量所组成1TTTT的向量组,,,212mB构成一个mn矩阵Tm线性方程

6、组的向量表示a11x1a12x2a1nxnb1,a21x1a22x2a2nxnb2,am1x1am2x2amnxnbm.a1x1a2x2anxnb方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．定义１给定向量组A:,,,，对于任何一12m组实数k，k，,k，向量12mkkk1122mm称为向量组的一个线性组合，k1，k2，,km称为这个线性组合的系数.1110例向量组A:a1,a2,a3,a412011110向

7、量组A的一个线性组合：2a3aaa2312341201给定向量组A:,,,和向量b,如果存在12m一组数，，,，使12mb1122mm则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示．即线性方程组xxxb1122mm有解.11106例A:a,a,a,a,b1234120172a3aaab12