向量组的线性组合.ppt

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1、1定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组第三节向量组的线性组合(一)、向量组的线性组合1。向量组：当R(A)

2、表示。定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．例1．设a1=(1,0,0)，a2=(0,1,0)，a3=(0,0,1)，则∴b=(2,-1,1)是向量组a1，a2，a3的一个线性组合，也就是b可由a1，a2，a3线性表示。∵b=2a1-a2+a3=2(1,0,0)-(0,1,0)(0,0,1)=(2,-1,1)，定义1对于向量组a1，a2，，am，如果有一组数k1，k2，，km，使bk1a1k2a2kmam，则称向量b是向量组a1，a2，，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，

3、，am线性表示。。下页注意：（1）向量组a1，a2，a3的线性组合有无穷多个（2）一个向量b有可能可由向量组a1，a2，a3的线性表示；也有可能不能由向量组a1，a2，a3的线性表示。例2．任何一个n维向量a=(a1,a2,,an)T都是n维向量组e1=(1,0,,0)T，e2=(0,1,,0)T，，en=(0,0,,1)T的线性组合。这是因为a=a1e1a2e2anen。向量组e1，e2，，en称为n维单位向量组或n维基本向量组下页定义1对于向量组a1，a2，，am，如果有一组数

4、k1，k2，，km，使bk1a1k2a2kmam，则称向量b是向量组a1，a2，，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，，am线性表示。结论：任何一个n维向量a=(a1,a2,,an)都可由n维单位向量组或n维基本向量组线性表示5例：设那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的n维向量b，必有6n阶单位矩阵En的列向量叫做n维单位坐标向量．例3．零向量是任何一组向量的线性组合。下页定义1对于向量组a1，a2，，am，如果有一组数k1，k2，，km，使bk1a1

5、k2a2kmam，则称向量b是向量组a1，a2，，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，，am线性表示。例4．向量组a1，a2，，am中的任一向量i(1im)都是此向量组的线性组合。注意：对k1，k2，，km未加任何限制；特别是未限制k1，k2，，km不全为零。这是因为o=0a10a20am这是因为ai=0a1+1ai0am。定理n维列向量b可由n维列向量组a1，a2，，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2，，xm为未知量的线

6、性方程组x1a1x2a2xmamb有解。讨论：上述线性方程组在什么情况下有解？提示：线性方程组x1a1x2a2xmamb有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，即矩阵(a1a2am)与矩阵(a1a2amb)的秩相等。下页3。b可由a1，a2，，am线性表示的判定方法：a11x1+a12x2++a1mxm=b1a21x1+a22x2++a2mxm=b2an1x1+an2x2++anmxm=bnx1a1x2a2xmam

7、b定理n维列向量b可由n维列向量组a1，a2，，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2，，xm为未知量的线性方程组x1a1x2a2xmamb有解。推论：下页3。b可由a1，a2，，am线性表示的判定方法：（1）n维列向量b可由n维列向量组a1，a2，，am线性表示秩(a1a2am)=秩(a1a2amb)定理′n维行向量b可由n维行向量组a1，a2，，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2，，xm为未知量的线性方程组x1a1Tx2a2TxmamTbT

8、有解。（2）n维行向量b可由n维行向量组a1，a2，，am线性表示秩(a1Ta2TamT)=秩(a1Ta2TamTbT)例5设判断向量b是否为向量组a1，