向量b能由向量组A线性表示.pdf

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1、定理1Ax=b有解⇔复RA()=RA(,b),⇔向量bA能由向量组线性表示定理2方程AX=B有解⇔习R(A)=R(A,B)⇔向量组BA:β,ββ,,""可由向量组:α,α,,α线性表示12lm12问题Ax=0只有零解可有非零解，怎么用向量组说明？kα+kα+"+kα=0.1122mm只有零解⇔kk=="=k=0.12m有非零解⇔kk,,",k不全为0.12m首页上页返回下页结束§4.2向量组的线性相关性一、定义给定向量组A:αα,,",α,如果存在不12m全为零的数kk,,",k使12mkkαα++"+kα=01122mm

2、则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．注意1.若α,α,",α线性无关,则只有当12nλ="=λ=0时,才有1nλα+λα+"+λα=0成立.1122nn2.对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.首页上页返回下页结束3.向量组只包含一个向量α时,若α=0则说α线性相关,若α≠0,则说α线性无关.4.包含零向量的任何向量组是线性相关的.5.对于含有两个向量的向量组,它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向量共面.首页上页返回下页结束二、线性相关与线性表示的关系

3、定理向量组α1,α2,",α（m当m≥2时）线性相关的充分必要条件是α1,α2,",αm中至少有一个向量可由其余m−1个向量线性表示．证明充分性设a1,a2,",am中有一个向量（比如am）能由其余向量线性表示.即有a=λα+λα+"+λαm1122m−1m−1故λα+λα+"+λα+(−1)a=01122m−1m−1m因λ,λ,",λ,(−1)这m个数不全为0，12m−1故线α1,α2,",αm性相关.首页上页返回下页结束必要性设α1,α2,",αm线性相关，则有不全为0的数k1,k2,",km,使kα+kα+"+kα=

4、0.1122mm因k1,k2,",km中至少有一个不为0，不妨设k1≠0,则有⎛k⎞⎛k⎞⎛k⎞=⎜−2⎟+⎜−3⎟+"+⎜−m.ααα⎟α123m⎝k1⎠⎝k1⎠⎝k1⎠即α1能由其余向量线性表示.证毕.首页上页返回下页结束三、线性相关性在线性方程组中的应用若方程组中有某方程是其余方程的线性组合,那么,这个方程就是多余的，则称方程组（各个方程）是线性相关的；方程组中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线性独立）.方程组解向量组A线性相关就是齐次线性方程组与相关性xα+xα+"+xα=0,即Ax=01122m

5、m结论有非零解.其中A=(α,α,"α).12m而:(mA元齐次线性方程组x=o有非零解⇔

6、无关⇔=12,,,.mRA()m首页上页返回下页结束四、线性相关例子例4n维向量组()T()T()Te=1,0,",0,e=0,1,",0,"，e=0,0,",112n称为n维单位坐标向量组,.讨论其线性相关性解n维单位坐标向量组构成的矩阵E=(e,e,",e)12n是n阶单位矩阵.由E=1≠0，知R(E)=n.即R(E)等于向量组中向量个数，故由定理2知此向量组是线性无关的.首页上页返回下页结束例5已知⎛1⎞⎛0⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟α1=⎜1⎟，α2=⎜2⎟，α3=⎜4⎟，⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝5⎠⎝7⎠试讨论向量组α，α

7、，α及α，α的线性相关性.12312分析对A=(α，αα，）变成行阶梯形矩阵,123可以看出矩阵（αα，，α）及（α，α）的秩，12312利用定理2.即可得出结论首页上页返回下页结束例5已知⎛1⎞⎛0⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟α1=⎜1⎟，α2=⎜2⎟，α3=⎜4⎟，⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝5⎠⎝7⎠试讨论向量组α，α，α及α，α的线性相关性.12312解⎛102⎞⎛102⎞⎜⎟r⎜⎟(α1,α2,α3)=⎜124⎟~⎜022⎟，⎜157⎟⎜⎝000⎟⎠⎝⎠所以,R(,ααα,)=2，向量组α,α,α线性相关；123123R(,αα

8、α)2=,向量组,α线性无关.1212首页上页返回下页结束例6已知向量组α,αα,线性无关,b=α+α,123112bb=+αα,,=α+α试证b,b,b线性无关.223331123证法(一)设有x,x,x使123xb+xb+xb=0112233即x（α+α）+x(α+α)+x(α+α)=0,11222