复变函数经典习题new

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1、一、判断正误（正确划“√”，错误划“×”，221．zz。()2．若f(z)存在，则f(z)在z解析。()003．若u(x,y)，v(x,y)连续，则f(z)u(x,y)iv(x,y)连续。()4．f(z)在区域D内解析，L是D内简单闭曲线，则f(z)dz0。L()5．函数f(z)的奇点必都是孤立奇点。()6．zzz。()27．Lnz2Lnz。()8．若z是f(z)的奇点，那么f(z)在z不可导。()0010n09．In1dz，c:zz0r。()c(zz0)2in0n10．若级数cn(z2)在z0处收敛，则它必在z3处发散。()n

2、0二、填空题1．方程zacostibsint(0t2)表示的曲线为。2．Ln(1)。13．(ezez)dz。z1nz4．级数的收敛半径为。3n1n5．单位脉冲函数(t)的傅立叶变换F[(t)]。116．L[]。2s3t7．ecos2tdt。08．若wf(z)在z是共形映射，则wf(z)在z具有两个性质001，。9．满足zRe(z)1的点的轨迹是。10．将上半平面Im(z)0映射成单位圆W1的分式线性映射的一般形式为：。A0t11．矩形脉冲函数f(t)的Fourier变换为0其它。12．(t)为单位脉冲函

3、数，且f(t)无穷次可微，则(t)f(t)dt。t13．f(t)sin，则其Laplace变换F[s]。2三、综合题2z1．解方程：e10。2．求卷积：t*t。13．在z1内将f(z)展成罗朗级数。1zz4．求f(z)在z1的泰勒展式。0z22z15．计算Idz，其中P是包含圆周z1在内的任意简单正向闭曲线。2zzPxsinx6．求Idx(a0)。x2a217．求f(z)在有限整点处的留数，并求f(z)dz，C取m(z1)(z2)C:z3正向，其中，m为正整数。2zsin8．求积分：4dz。z2z21sinz

4、9．求积分：1dz。zz3i2z10．求积分：edz。iA,0t;11．求函数f(t)的傅氏变换。0,其它.t12．求函数f(t)1te的拉氏变换。t13．解微分方程：y4y3ye,y(0)y(0)1。i14．(1)。t15．t*e。216．wf(z)2z1在zi处的旋转角和伸缩率。117．将f(z)在z1处展成罗朗级数。1z12218．函数W将z平面上曲线xy4映射成W平面上怎样的曲线？z并作图。E0t19．求矩形单脉冲f(t)的频谱函数。0其它20．求函数f(t)tsinkt的Laplac

5、e变换(kR)。21.若f(z)uiv在区域D内是解析的，且u是实常数。证明：f(z)在D上是常数。22．证明Fourier变换的微分性质，即若F[w]F[f(t)]，f(t)在(,)tf(t)0上ct或只有有限个可去间断点，且当时，，则F[f(t)]jwF[f(t)]。f(z)uivf(z)f(z)23．若函数及在区域D内解析，则恒为常数。3n1

6、

7、1,zzn24、若z（n是正整数），则（）.（A）Re()0（B）Im()0（C）arg()0（D）arg()π13i33nn13i()()25、22（）.nn1（

8、A）(1)2（B）(1)2（C）2（D）2zz,26、对任意复数12，证明不等式

9、

10、z

11、

12、z

13、

14、

15、zz

16、

17、z

18、

19、z

20、.121212

21、z

22、

23、z

24、

25、z

26、zzz0zzz,,27、若123，且123证明以123为顶点的三角形是正三角形.zzz,,28、若复数123满足等式zzzz2113zzzz3123

27、zz

28、

29、zz

30、

31、zz

32、.证明213123

33、

34、1r29、设实数，求下面级数的和.kkrkcosrksin（1）k0（2）k1130、已知映射z，求

35、

36、2zyx（1）圆周的像；（2）直线的像；（3）区域x1的像.zz2

37、2zzlim231、求极限：z1z1zzfz()()32、证明zz在（0，0）点的极限不存在.fz()argz33、证明在负实轴上不连续。234、映射wz在zi处的伸缩率k与旋转角是（）.4ππππk1,k2,k1,k2,（A）2（B）2（C）2（D）21w35、在映射z下，将

38、z1

39、1映射为（）.11uv（A）右半平面u0（B）下半平面v0（C）半平面2（D）236、求将圆

40、

41、2z映射到右半平面，且