复变函数课件new

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1、第二节柯西积分定理、不定积分一、柯西定理二、多连通区域的柯西积分定理三、不定积分四、小结与思考机动目录上页下页返回结束一、柯西定理2被积函数f(z)z在复平面内处处解析,此时积分与路线无关(观察上节例2).1观察上节例4,被积函数当n0时为,zz01此时dz2i0.Czz0它在以z为中心的圆周C的内部不是处处解析的,0虽然在除去z的C的内部函数处处解析,但此0区域已不是单连通域.机动目录上页下页返回结束2观察上节练习,被积函数f(z)zxiy,由于不满足柯西－黎曼方程,故而在复平面内

2、处处不解析.此时积分值zdz与路线有关.c由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.1825年，柯西给出如下定理，肯定地回答了上述问题，它是研究复变函数的钥匙。即机动目录上页下页返回结束3柯西定理如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,C为D内任意一条简单闭曲线，则f(z)dz0.CCD1851年，柯西在附加假设“f'(z)在D内连续”的条件下，得到了一个如下简单证明：机动目录上页下页返回结束4证明：令z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y),有f(z

3、)dz=udxvdy+ivdxudyCCC而f'(z)在D内连续,所以ux,uy,vx,vy在D内连续,并适合柯西-黎曼方程:uvuv,.xyyx由格林定理，udxvdy0,vdxudy0CC故得，f(z)dz0.C机动目录上页下页返回结束51900年古萨发表此定理新的证明方法.无须将f(z)分为实部和虚部.更重要的是免去了f'(z)连续的假设，只需f'(z)在区域D内存在即可.定理设函数f(z)在单连通域D内解析,则f(z)在D内任意按段光滑曲线C上的积分

4、与路径无关,只与C的起点和终点有关.定理设D是逐段光滑曲线C所围成的单连通区域，函数f(z)在D内解析,在DDC上连续,那末f(z)dz0.C机动目录上页下页返回结束62例1求(2z8z1)dz,其中C是连接原点到点(2a,0)C的摆线xa(sin)ya(1cos)解由图形知直线段L与C构成一条闭曲线。因为f(z)=2z2+8z+1在全平面上解析，则y2(2z8z1)dz0,CCL2即(2z8z1)dzC(2z28z1)dzoL2axL机动目

5、录上页下页返回结束7而2a22(2z8z1)dz(2x8x1)dx0L8222a(a8a1)3故2822(2z8z1)dz2a(a8a1).3C机动目录上页下页返回结束81例2计算积分dz.2z(z1)1zi211111解2,z(z1)z2zizi111因为和都在zi上解析,zzi2根据柯西定理得1111112dzdz1z(z1)1z2zi2zizizi22机动目录上页下页返回结束911

6、111dzdzdzz2zi2zi111zizizi2220111dz2ii.2zi21zi2思考：若积分曲线为绕圆周

7、zi

8、=1/2两周的周线?机动目录上页下页返回结束10二、多连通区域的柯西积分定理1实例,计算dz.z2z1因为z2是包含z1在内的闭曲线,根据本章第一节例4可知,1dz2i.z2z1由此希望将基本定理推广到多连通域中.机动目录上页下页返回结束11定理：设D是由n+1条简单闭曲线C0,C1,,Cn所围成的多

9、连通区域(如图)，CC0C1Cn,函数f(z)在D内解析，在DDC上连续,则f(z)dz0.CC1DC0或者C3C2f(z)dzC0Cf(z)dzCf(z)dzCf(z)dz.柯西介绍12n机动目录上页下页返回结束12证取n条互不相交且除去端点外全在D内的辅助曲线1，2，，n，分别把C0依次与C1,C2,,Cn连接起来，则以CCC0111nnn为边界的区域就是单连通区域，则1Cf(z)dz0.13C0C32C2机

10、动目录上页下页返回结束13由于沿1，2，，n的积分正好沿这些曲线的正负方向各取了一次，所以f(z)dz0.C即f(z)dzC0f(z)dzf(z)dzf(z)dz.C1C2Cn机动目录上页下页返回结束141例3求dz,为含a的任一简单闭路,n1(za)n为整数.a解因为a在曲线内部,1故可取很小的正数,使:za含在Γ内部,1由定理,11dzdzn1n1(za