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1、习题八答案1．求下列函数的拉氏变换：⎧π3,t<,⎪⎪2(1)ft()=⎨⎪≥πcos,tt;⎪⎩2解：由拉氏变换的定义知：πππ+∞31⎛⎞−−ssLft[()]=+23edt−−stestcostdt=⎜⎟1−e22−e.∫∫π202ss⎝⎠+1(2)f()costt=⋅−⋅δ()sinttu().t解：由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知：+∞+∞1−−stst−stLft[()]=⋅cos()ttedtδ⋅−⋅sin()tutedt⋅=coste⋅−
2、∫∫00t=0s2+121s=−1.=22ss++112.求下列函数的拉氏变换：2(1)ftt
3、()=−1;解：由拉氏变换的线性性质知：22!121Lft[()][][1]=Lt−=−=−L.33sssst(2)f()1tt=−e;解：由拉氏变换的线性性质和位移性质知：t11Lft[()][1][]=−=LLte−.2ss(1−)(3)f()ttt=cos;解：法一：利用位移性质。it−itee+ftt()==costt.2由拉氏变换的位移性质知：2111it−it⎡⎤11s−1Lft[()]=+=+=Lte[]Lte[]⎢⎥.2222222⎣⎦(si−+)(si)(s+1)法二：利用微分性质。2ss1−令gt()cos,=t则Gs()==Lgt[()]
4、,Gs'()=.222ss++1(1)由拉氏变换的微分性质知：L[cos]ttL=[()]tgtGs=−'().2s−1即Lft[()]=.22(1s+)−2t(4)f()te=sin6;t6解：因为Lt[sin6]=,2s+366故由拉氏变换的位移性知：Lft[()]=.2(2s++)362(5)f()cos;tt=1cos2+t解：ft()=.221111ss+2故Lft[()]=+L[]L[cos2]t=+⋅=.222222sss++4(4s)−t(6)ftu()=−(1e);−t⎪⎧1,1−>e0⎧1,t>0−t−t解：因为ue(1−=)⎨,即：ue(
5、1−=)⎨.−t⎩0,t<0⎪⎩0,1−e<0+∞1−st故Lft[()]=⋅=∫1edt.0s2t(7)f()(1)tte=−;22tttt解：f()(1)ttet=−=−+et2ee.法一：利用拉氏变换的位移性质。22ttt2!11ss−4+5Lft[()][]2[][]=−+=−+=LteLteLe2.323(ssss−−−−1)(1)1(1)法二：利用微分性质。t1令gt()=e,则Gs()==Lgt[()].s−1222由拉氏变换的微分性质知：Ltgt[()](1=−)'Gs'()=,3(1s−)tt11又因为Lte[]==,[]Le,2(1ss−)
6、−122tttss−45+所以Lft[()][]2[][]=−+=LteLteLe.3(1s−)nat(8)f()tte=;解：法一：利用拉氏变换的位移性质。nn!natn!因为Lt[]=,故Lft[()][==Lte].n+1n+1s()sa−法二：利用微分性质。nat1()n(1)!−n令g()te=，则Gs()==Lgt[()].故G=.n+1sa−()sa−natn()n由拉氏变换的微分性质知：L[](te=−1)(Gs).n!故Lft[()]=.n+1()sa−3.利用拉氏变换的性质计算下列各式：−3t(1)f()tt=esin2,t求L[()];f
7、t−−3t113t2ti−2ti(2i−3)t−(2i+3)t解：因为ftte()==−sin2ttee(e)=−[tete],22ii所以由拉氏变换的位移性质知：111(2it−−3)(2it+3)⎡⎤114(s+3)Lft[()]=−=Lte[]Lte[]⎢⎥−=.22222iii22(23⎣⎦s−+i)(23s++i)[(3s++)4]t−3t(2)f()tte=∫sin2,tdt求L[()].ft0−3t解：设g()te=sin2,tGs()=Lgt[()].则22ti−ti−3tee−11⎛⎞12gs()==Le[]⎜⎟−=.22ii2⎝⎠s−23i
8、s++23(3is+++)4t12由拉氏变换的积分性质知：Lgtd[()](tGs==).∫0ss[(s++3)24]'tt3⎛⎞2−t再由微分性质得：Lte[sin2tdt]==Ltgtdt[()]−⎜⎟∫∫00⎝⎠ss[(++3)24]22(3ss++1213)所以Lft[()]=.222ss[(++3)4]−14.利用拉氏变换的性质求L[()].Fs2s(1)Fs()=;22(1s−)解：法一：利用卷积求解。2s设Fs()==,Fs(),则F()sFsFs=()⋅().122212ss−−11−−112而f()tLFs==[()]sin,itftLFs(
9、)==[()]cos.it1122i2
