复变函数339718new

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1、Bx((β),y(β))第三章复变函数的积分rcdr↔dz（与实函数中二型线积分类比）dy⎧⎪xxt=()dx§3.1复积分的概念⎨α≤t≤β⎪⎩yyt=()Ax((α),y(α))线积分复积分rrrF()()x,,,y=+MxyiNx(yj)fzuxyivxy()=+(,,)()rrrdr=+dxidyjz=+xiydz,=+dxidyrr∫∫Fdr=+MdxNdy∫∫ccf()zdz=++(uivdxidy)()ccβr=−++∫∫udxvdyivdxudy=∫Fxtytrtdt()()(),′()c

2、cβα=f()xt()(),ytztd′()t一个复积分的实质是∫两个实二型线积分α复积分存在的一个充分条件：设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在逐段光滑的曲线上C连续，则∫fzdz()必存在.cf(z)连续⇔u(x,y)，v(x,y)连续⇒∫udx−vdy与∫vdx+udy存在⇒∫fzdz()存在.CCC复积分的性质：()设f(z)、g(z)在逐段光滑的有向曲线C上连续1线性性：∫(af(z)+bg(z))dz=a∫f(z)dz+b∫g(z)dz(a、b为常数)CCC−2设CC为的逆向曲线，则f(

3、z)dz=−f(z)dz∫C−∫C3,∫∫∫f(zdz)=fzdz()+=fzdzCCC()12+CCC124(∫∫∫fzdz)≤=fzdz()fzds()≤MLCCC(若fzC()在上有界：fzMLC()≤,为的长度.)例题1计算∫zdz.(1):Ciα=→=−βi的直线段；C（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。解（1）线段αβ的参数方程为zi=→tt(:1−1)dz=idtz,==⇒itt−10111∫∫zdz==tidt−i[(∫∫−tdt+tdt=−i+)=−iC11−022iθπ3

4、π（2）参数方程为ze=≤,θ≤22iiθθidz==iedθ,1ze=⇒3π23iiπzdziedθθe22i==θ=−∫∫Cπ−iπ22可见积分与路径有关。dz例题2计算积分I=∫Cn(n∈Z),C:z−z0=r>0(z−z)0iθiθ解：Czzre:(=+00≤≤θ2π),dz=iredθiθ2π2πiredθ1−−in1⎧0,n≠1,I=ie()θd=θ=⎨∫0(reiθ)nn−1∫2,1.inr⎩π=0dz例如∫=2πi,z=1zz+1例题3证明∫dz≤8π,Cz:12−=.Cz−1z+1z+1z+

5、1证明：∫dz≤∫dz=∫dzCz−1Cz−1C2z−+12≤∫dz=2∫dz=8.πC2Cdz例如∫z=1=∫z=1dz=2πzdzdz2π2π−iθiθ=练习∫z=1=∫iedθ=0∫∫edθ=0z0z=1z02例题4计算zdz,C如图所示：C∫i2C解：Czxy1:,0==→,x:11−⇒C−11zdz22==xdx−2;−11∫∫C131πiθ22θθiiCze:,=→θπ:0⇒zdz=eiedθ2∫∫C20ππ122ied33θθiie.zdz=0===∫θ−∫33C00可见，积分与路径无关仅与起

6、点和终点有关。22222∫∫zdz=−−+(xy)dx22xydyix∫ydx+−(xy)dyCCCMNMNMyx==Nu(y()−vx)Myx==Nvu(yx)§3.2柯西积分定理定理1（Cauchy）如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,则它在D内任何一条封闭曲线C的积分为零:∫fzz()d=0.C注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线.此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。注2：如果曲线C是D的边界,函数f(z)在D内与C上解析,即在闭区域D+C上解析,甚至f(z)在D内解析,在闭区域D+C上连续

7、,则f(z)在边界上的积分仍然有∫fzz()d=0.C推论：如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,C属于D，则∫f()zdz与路径无关仅与起点和终点有关。cz于是∫∫∫f()zdz==f()ξdξξf()dξΔFz()⇒=Fzfz′()()CCz0z⇒=Fz()∫f()ξdξ是解析函数。z0⇒解析函数的导数仍为解析函数z1特别地∫fdF()ξξ=−()zF10()z.z0β11β22333例如：∫zdz==−z()βα=−()αβ=1,=−1333αα注：以上讨论中D为单连通域。11f(z)=在区域D={

8、}0