复变函数习题解答一new

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1、复变函数习题解答一绪论∞2−x补1.计算⑴：∫edx0∞2−x解：记I=∫edx0∞∞2π2−(x2+y2)−r2π则有(2I)=∫∫edxdy=∫∫erdϕdr=π∴I=2−∞r=0ϕ=0∞2−x/2[也可参考正态分布计算公式：∫edx=2π]−∞∞−tx−12.定义Γ(x)=∫etdt(x>0)，求证：Γ(x+1)=xΓ(x)0∞∞∞−txx−tx−t∞−tx−1证明：Γ(x+1)=etdt=−tde=−[te−xetdt]=xΓ(x)∫∫0∫000第一章复变函数P.5：1.下列式子在复平面上具有怎样的意义？z−1(7).≤1z+1

2、解法一：z−1≤z+1，表示到（1，0）点的距离小于等于到（-1，0）点距离的所有的z，即复平面的y轴及右半平面.2222解法二：z−1≤z+1(x−1)+y≤(x+1)+y222222(x−1)+y≤(x+1)+y(x−1)≤(x+1)即x≥0表示复平面的y轴及右半平面.22z−1x−1+iyx−1+y2y解法三：w===+i2222z+1x+1+iy(x+1)+y(x+1)+y2222(x+y−1)+4yw=≤122(x+1)+y2222222(x+y−1)+4y≤(x+y+2x+1)222222222222(x+y)−2(x+y)

3、+1+4y≤(x+y)+2(x+y)(2x+1)+(2x+1)101复变函数习题解答一22222(x+y)(2x+2)+(2x+1)−4y−1≥0322222x+xy+x+y+x+x−y≥022x(x+y+2x+1)≥022x[(x+1)+y]≥0⇒x≥0表示复平面的y轴及右半平面.2.把下列复数用代数式﹑三角式和指数式几种形式表示出来.iπ(2).解：−1=cosπ+isinπ=e3.计算下列数值.（a，b和ϕ为常数）11i(+2n)π−(+2n)π(3).解：ii=[e2]i=e2(n=0,±1,±2,L)P.9：2.计算下列数值.

4、（a，b为常实数，x为变实数数）(1).sin(a+ib),解法一：sin(a+ib)=sina⋅cosib+cosa⋅sinib1−bbi−bb=sina⋅(e+e)−cosa⋅(e−e)=chb⋅sina+ishb⋅cosa22解法二：1−b+iab−ia1−b−bsin(a+ib)=(e−e)=[e(cosa+isina)−e(cosa−isina)]2i2i1−bbi−bb=(e+e)sina−(e−e)cosa=chb⋅sina+ishb⋅cosa223．求解方程sinz=2.解：设z=x+iy，则y≠0；由2(1)题及sin

5、z=2知：y−y⎧π⎧(e+e)sinx=4⎪x=+2nπ⎨y−y⎨2⇒⎩(e−e)cosx=0⎪ey+e−y=4⎩2yyy1e−4e+1=0e=(4±16−4)=2±32102复变函数习题解答一y=ln(2±3)=−ln(2±3)=±ln(2+3)=±ln(2−3)πz=+2nπ+iln(2±3)(n=0,±1,±2,L)2P.13：试推导极坐标系中的柯西—黎曼方程（1.3.4）.解法一：用导数的定义推导，记iϕz=ρe，w(z)=u(ρ,ϕ)+iv(ρ,ϕ)iϕiϕ∆z=e∆ρ+iρe∆ϕ→0iϕ(1).取∆z沿纵向趋于零，即∆ϕ≡

6、0,∆z=e∆ρ→0∆w∆u+i∆v1∂ui∂vlim=lim=+iϕiϕiϕ∆z→0∆z∆ρ→0e∆ρe∂ρe∂ρiϕ(2).取∆z沿横向趋于零，即∆ρ≡0,∆z=iρe∆ϕ→0∆w∆u+i∆v1∂vi∂ulim=lim=−iϕiϕiϕ∆z→0∆zi∆ϕ→0iρe∆ϕρe∂ϕρe∂ϕ⎧∂u1∂v=⎪⎪∂ρρ∂ϕ由结果相等得到⎨即极坐标系中的柯西-黎曼方程.∂v1∂u⎪=−⎪⎩∂ρρ∂ϕ解法二：利用直角坐标系的CR方程推导，已有z=x+iy，x=ρcosϕ，y=ρsinϕ，∂u∂v∂u∂vf(z)=u(x,y)+iv(x,y)及=，=−

7、.∂x∂y∂y∂x∂u∂u∂x∂u∂y∂u∂u(一).=⋅+⋅=⋅cosϕ+⋅sinϕ∂ρ∂x∂ρ∂y∂ρ∂x∂y∂v∂v∂x∂v∂y∂v∂v=⋅+⋅=ρ(−⋅sinϕ+⋅cosϕ)∂ϕ∂x∂ϕ∂y∂ϕ∂x∂y∂u1∂v∴得：=∂ρρ∂ϕ∂v∂v∂v(二).=⋅cosϕ+⋅sinϕ∂ρ∂x∂y∂u∂u∂u=−⋅ρsinϕ+⋅ρcosϕ∂ϕ∂x∂y∂v1∂u∴得：=−∂ρρ∂ϕ103复变函数习题解答一P.18：3.试从极坐标系中的柯西—黎曼方程（1.3.4）消去u或v.解：(一).极坐标系中的柯西-黎曼方程可改写为：⎧∂u∂vρ=(1)⎪

8、⎪∂ρ∂ϕ⎨1∂u∂v⎪=−(2)⎪⎩ρ∂ϕ∂ρ(1)式对ρ求偏导，(2)式对ϕ求偏导，分别得：2∂∂u∂v(ρ)=(3)∂ρ∂ρ∂ρ∂ϕ221∂u∂v=−(4)2ρ∂ϕ∂ρ∂ϕ2∂∂u1∂u(3)式加(4