复变函数习题二解答

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1、第二章部分习题解答1．试证下列函数在z平面上任何点都不解析。（1）（2）。证（1），，知在z平面上任何点都不解析。（2），，知在z平面上任何点都不解析。2．下列函数何处可导？何处解析？（1）解（1）由于，，，在z平面上处处连续，且当且仅当z=0时，u,v才满足C-R条件，故仅在点处可导，在z平面处处不解析。3．证明：如果函数在区域D内解析，并满足下列条件之一，那么是常数。(1)在内；(2)在D内解析。(3)在D内是一个常数。解（1）的证明由于，故由引理得,根据条件即有。于是恒为常数,即在内恒为常数。（2）若在区域D内

2、解析，则，又在区域D内解析，则，结合（1）、（2）两式，有，故在D内均为常数，分别记之为，则为一复常数。（3）若在D内为一常数，记为，则，两边分别对于x和y求偏导，得由于在D内解析，满足C-R条件代入上式又可写得解得。同理，可解得故均为常数，分别记为，则为一复常数。4．如果是一解析函数，试证：也是解析函数。证（1）,,,可知为一解析函数。5．证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是，证令，利用复合函数求导法则和满足C-R条件，得即。又总之，有，。6．设，试求（1）（2）（3）解（1）（2）（3）Re{e}7.下列关系是否正

3、确？（1）；（2）；（3）解（1）（2）。（3）=。8．试证：对任意的复数及整数m有证对任意的复数z，当为自然数时，m个 当时，。当时，9．找出下列方程的全部解。（1）；（2）解（1）原方程等价于，于是它的解为：（2）由于，故10．设，试证证由于故11．求和的值。解：，12．若函数在上半z平面内解析，试证函数在下半平面内解析。证1对于任意的下半平面上的一点。则点是上半平面上的点，则.若解析，则满足C-R条件：因此对于内的任一点,有上述两式表明的实部、虚部在内满足条件，显然与在内可微，故函数在内处处解析。证2令，对于内

4、的任一点，则属于内的点，注意到在内解析，于是有即在点处可导，且由点的任意性，知在内处处解析。13．在里，将与形式地看作独立变数，写作，试证柯西-黎曼方程可表示为：证由于，，根据复合函数求导法则，有可见C-R方程可表示为