复变函数习题一解答.doc

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1、第一章习题解答（一）1．设，求及。解：由于所以，。2．设，试用指数形式表示及。解：由于所以。3．解二项方程。解：。4．证明，并说明其几何意义。证明：由于所以其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。5．设z1，z2，z3三点适合条件：,。证明z1，z2，z3是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。证由于，知的三个顶点均在单位圆上。因为所以，，又故，同理，知是内接于单位圆的一个正三角形。6．下列关系表示点的轨迹的图形是什么？它是不是区域。（1）；解：点的轨迹是与两点连线的中垂线，不是区域。（2）；解：令由，即，得故点的轨迹是

2、以直线为边界的左半平面（包括直线）；不是区域。（3）解：令，由，得，即；故点的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。（4）；解：令由，得，即故点的轨迹是以直线为边界的梯形（包括直线；不包括直线）；不是区域。（5）；解：点的轨迹是以原点为心，2为半径，及以为心，以1为半径的两闭圆外部，是区域。（6）；解：点的轨迹是位于直线的上方（不包括直线），且在以原点为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。（7）；解：点的轨迹是以正实轴、射线及圆弧为边界的扇形（不包括边界），是区域。（8）解：令由，得故点的轨迹是两个闭圆的外部，

3、是区域。7．证明：z平面上的直线方程可以写成（a是非零复常数，C是实常数）证设直角坐标系的平面方程为将代入，得令，则，上式即为。反之：将，代入得则有；即为一般直线方程。8．证明：平面上的圆周可以写成其中A、C为实数，为复数，且。证明：设圆方程为其中当时表实圆；将代入，得即其中且；反之：令代入得其中即为圆方程。10．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。（1）；（2）；（3）；（4），解（1）。即直线。（2），即为椭圆；（3），即为双曲线；（4），即为双曲线中位于第一象限中的一支。11．函数将z平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线？（1）；（

4、2）解，，可得（1）是平面上一直线；（2），于是，是平面上一平行与v轴的直线。13．试证在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。证设，因为f(0)无定义，所以f(z)在原点z=0处不连续。当z0为负实轴上的点时，即，有所以不存在，即在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。14．设()ïîïíì+=,0,623yxxyzf求证在原点处不连接。证由于可知极限不存在，故在原点处不连接。16.试问函数f(z)=1/(1–z)在单位圆

5、z

6、<1内是否连续？是否一致连续？【解】(1)f(z)在单位圆

7、z

8、<1内

9、连续．因为z在C内连续，故f(z)=1/(1–z)在C{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆

10、z

11、<1内连续．(2)f(z)在单位圆

12、z

13、<1内不一致连续．令zn=1–1/n，wn=1–1/(n+1)，nÎN+．则zn,wn都在单位圆

14、z

15、<1内，

16、zn-wn

17、®0，但

18、f(zn)-f(wn)

19、=

20、n-(n+1)

21、=1>0，故f(z)在单位圆

22、z

23、<1内不一致连续．[也可以直接用实函数f(x)=1/(1–x)在(0,1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E={zÎC

24、Im(z)=0,0

25、上的限制即可．]17.试证：复数列zn=xn+iyn以z0=x0+iy0为极限的充要条件是实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限．【解】(Þ)若复数列zn=xn+iyn以z0=x0+iy0为极限，则"e>0，$NÎN+，使得"n>N，有

26、zn-z0

27、

28、xn-x0

29、£

30、zn-z0

31、

32、yn-y0

33、£

34、zn-z0

35、0，$N1ÎN+，使得"n>N1，有

36、xn-x0

37、N2

38、，有

39、yn-y0

40、N，有n>N1且n>N2，故有

41、zn-z0

42、=

43、(xn-x0)+i(yn-y0)

44、£

45、xn-x0

46、+

47、yn-y0

48、0，$KÎN+，使得"n>K，有

49、zn-z0

50、

51、z1-z0

52、+...+

53、zK-z0

54、，则当n>K时，有

55、(z1+

56、z2+...+zn)/n-z0

57、=

58、(z1-z0)+(z2-z0)+...+(zn-z0)

59、/n£(

60、z1-z0

61、+

62、z2-z0

63、+...+

64、zn-z0

65、)/n=(

66、z1-z0

67、+...+

68、z