复变函数习题解答.doc

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1、复变函数练习题解答一、求出下列函数的奇点，并确定它们的类别<对于极点，要指明它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论.<1），<2）解.<1）有奇点，因在扩充复平面上有一阶零点，故有一阶极点，易见0是的一阶极点的极限点，因而0不是的孤立奇点.解.<2）有奇点，因0是的可去奇点，易见有一阶极点.事实上因而是的一阶极点的极限点，不是的孤立奇点.二、考查函数的可微性和解读性，并求出导数<如存在）.解.因，，，，5/5，，故仅在两个点满足条件，，因此函数处处不解读，仅在两个点可导和可微，且，.三、求出圆到半平面的共形映射，使符合条件1．将圆映为圆，2．

2、因将半平面映为圆，故逆映射将圆映为上半平面3．将上半平面映为右半平面4．上述三个映射的复合将圆映为半平面，且符合条件.四、证明：级数收敛，但不绝对收敛，提示，写成实部和虚部.证因其实部条件收敛，虚部绝对收敛因此级数收敛，但不绝对收敛.五、计算下列积分<1）<2）5/5解.<1），事实上<2）已知，为求，令，则原积分，记，，则六、设函数在区域内解读，试证证<1）设，则，<2）左<3）由<2）和Laplace方程，知，左，<4）由<3）和条件，知，左<5）由<4）和知，右<6）由<4）和<5）知，左=右.七、设在内解读，且，，如果原点0是的阶零

3、点，则<1）当时5/5<2）<3）如对于某一点，有，或者，，那么，在内，其中是一复常数，证因原点0是的阶零点，故可以将在展成如下的幂级数，且，记，则在内解读，，，设，，则由最大模定理知，，令，得，因此（1）当时得证；（2）由知，，同<1）类似可以证明.（3）如对于某一点，有或，那么由最大模定理知，或是常值函数.因此，在内，，其中是复常数，且.申明：5/5所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。5/5