复变函数部分习题解答分析(复拉)

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1、复变函数部分习题解答分析作业卷（一）一判断题1.复数7+6i>1+3i.£.两个复数,只有都是实数时,才可比较大小.2.若z为纯虚数,则z6=¹z.p.按书上定义,纯虚数指yi;y6=0,若z=yi,则z¹=¡yi.3.函数w=arg(z)在z=¡3处不连续.p.当z从下方!¡3时,w=arg(z)的极限为¡¼;当z从上方!¡3时,w=arg(z)的极限为¼.4.f(z)=u+iv在z0=x0+iy0点连续的充分必要条件是u(x;y);v(x;y)在(x0;y0)点连续.p.Th1.4.3.5.参数方程z=t2+ti(t为实参数)所

2、表示的曲线是抛物线y=x2.£.x=y2.二填空题1.若等式i(5¡7i)=(x+i)(y¡i)成立,则x=,y=.分析:两复数相等的定义.x=¡6;y=¡1,或x=1;y=6.2.方程Im(i¡z¹)=3表示的曲线是.分析:由复数相等,Im(i¡z¹)=Im[i¡(x¡iy)]=Im[¡x+(1+y)i]=1+y=3,故填y=2.3.方程z3+27=0的根为.p分析:z3=27ei¼;z=271=3(cos(¼+2k¼)+sin(¼+2k¼));k=0;1;2,z=¡3;3§33i.33224.复变函数w=z¡2的实部u(x;y)

3、=;虚部v(x;y)=.z+1分析:将z=x+iy代入,分离实部、虚部,得u(x;y)=x2¡x+y2¡2;v(x;y)=3y.(x+1)2+y2(x+1)2+y25.设z1=2i;z2=1¡i,则Arg(z1z2)=.分析:arg(z)=¼;arg(z)=¡¼;Arg(zz)=¼¡¼+2k¼=¼+2k¼;(k=0;§1;§2;¢¢¢)1p224122446.复数z=¡12¡2i的三角表示式为,指数表示式为.55i(¡5¼)分析:4[cos(¡¼)+isin(¡¼)];4e6.66三计算、证明题p1.求出复数z=(¡1+3i)4的模

4、和辐角.p8¼442¼2¼4i2¼解z=(¡1+3i)=2(cos+isin)=16e3;jzj=16;Arg(z)=+2k¼;k=0;§1;§2;¢¢¢.3332.设z=x+iy满足Re(z2+3)=4,求x与y的关系式.解Re(z2+4)=Re(x2¡y2+3+2xyi)=4;x2¡y2=1.3.求f(z)=1将平面上的直线y=1所映射成w平面上的曲线方程.z解由w=1得z=1;x+iy=1=u¡vi.又由y=1得¡v=1;u2+v2+v=0.zwu+ivu2+v2u2+v2u2+v24.求角形域0

5、z下的象.3解arg(w)=arg(¹z),而¡¼

6、=u+iv也可导.£.若u(x;y)和v(x;y)可导,则u;v之间一般没有什么直接关系.f(z)=u+iv可导,u;v之间一个几乎完全确定另一个(活动的余地只是一个常数).3.若f(z)在z0点不解析,则f(z)在点z0必不可导.£.参见三2.4.jsinzj·1.£.复变函数中,sinz无界.如jsinikj=jeiik¡e¡iikj=jek¡e¡kj!+1(k!+1;k>0).2i25.函数f(z)=u(x;y)+iv(x;y)在点z0=x0+iy0可微等价于u(x;y)和v(x;y)在点(x0;y0)可微.£.函数f(z)=

7、u(x;y)+iv(x;y)在点z0=x0+iy0可微等价于u(x;y)和v(x;y)在点(x0;y0)可微且满足C¡R条件.反例u=x;v=¡y:du=dx+0dy;dv=0dx¡dy;u;v都可微但f(z)=u+iv=x¡iy无处可微.6.函数ez是周期函数.p.2¼i为其周期.二填空题1.设ez=¡3+4i,则Re(iz)=分析：对z=¡3+4i两边取自然对数，有z=Ln(¡3+4i)=lnj¡3+4ij+iarg(¡3+4i)+2k¼i,从而Re(iz)=i[iarg(¡3+4i)+2k¼i]=arctan4+(2k+1)¼

8、.(注：这里是从集合角度说)32.3i=分析：3i=eiLn3=ei[ln3+iarg(3)+2k¼i]=ei[ln3+2k¼i]=e2k¼(cosln3+isinln3).3.(1+i)i=pppiiLn(1+i)i[lnj1+ij