复变函数课后部分习题解答

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1、word资料下载可编辑1.2求下列各式的值。（1）(-i)解：-i=2[cos(-30°)+isin(-30°)]=2[cos30°-isin30°](-i)=2[cos(30°5)-isin(30°5)]=2(-/2-i/2)=-16-16i专业技术资料word资料下载可编辑1.2求下列式子的值（2）（1+i）解：令z=1+i则x=Re（z）=1，y=Im（z）=1r===tan==1x>0,y>0属于第一象限角=1+i=（cos+isin）（1+i）=（）（cos+isin）=8（0-i）=-8i1.2求下式的值(3)专业技术资料wor

2、d资料下载可编辑因为-1=（cos+sin）所以=[cos(/6)+sin(/6)](k=0,1,2,3,4,5,6).习题一1.2（4）求(1-i)的值。专业技术资料word资料下载可编辑解：(1-i)=[(cos-+isin-)]=[cos()+isin()](k=0,1,2)1.3求方程+8=0的所有根。解：所求方程的根就是w=因为-8=8（cos+isin）所以=[cos(+2k)/3+isin(+2k)/3]k=0,1,2专业技术资料word资料下载可编辑其中===2即=2[cos/3+isin/3]=1—i=2[cos(+2)/

3、3+isin(+2)/3]=-2=2[cos(+4)/3+isin(+4)/3]=1—i习题二1.5描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。(1)Im(z)>0解：设z=x+iy因为Im(z)>0，即，y>0专业技术资料word资料下载可编辑而所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。由所确定的区域可知，不存在某一个正数M，使得确定区域内的每个点z满足，所以该区域是无界的。在该区域D内任意作一条简单闭曲线，该曲线的内部总是属于D区域，所以区域D为单连通区域。综上所述，该不等式确定的区域是

4、不包含实轴的上半区域，是无界的单连通区域。描出下列不等式的区域或闭区域，并指出它是有界还是无界的，单连通的还是多连通的。1.5（2）解：该不等式的区域如图所示：专业技术资料word资料下载可编辑y15x圆+=4的外部（不包括圆周），无界的，为开的多连通区域1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的0

5、界的，单连通的还是多连通的：（4）专业技术资料word资料下载可编辑解：即为由圆周与所围成的环形闭区域（包括圆周），是有界多连通闭区域。如图：已知映射w=z3，求（1）点z1=i，z2=1+i，z3=+i，在w平面上的像。解：z=reiθ，则w=z3r3。于是⑴Z1=i=e,专业技术资料word资料下载可编辑z2=1+i=()=Z3=+i=2（+i）=2()=经映射后在w平面上的像分别是W1==-i,W2==（-+i）=-2+i2，W3==8i第47页3.5计算下列各题（1）==-((zcosz)z=1-(zcosz)z=0-dz)=cos

6、1-sin1专业技术资料word资料下载可编辑注：因输入法问题。故特设定z的共轭负数为z*,除号为/1.7：设f（z）=1/z2(z/z*－z*/z)(z≠0)当z→0时，极限不存在解法一：首先假设z＝reiθ则有：(z/z*－z*/z)＝r2(e-2iθ-e2iθ)/r2＝-2isin2θ专业技术资料word资料下载可编辑可见是随θ发生变化而变化的变量所以根据极限必须为常数可知当z→0时，极限不存在是以此题得证。解法二：首先假设z＝x+iy则(z/z*－z*/z)＝(z*2－z2)/x2＋y2＝-4ixy/x2＋y2所以可见，当z→0时，

7、即当x→0,y→0时因为有lim(x→0,y→0)xy/x2＋y2极限不存在所以当z→0时，f（z）=1/z2(z/z*－z*/z)的极限不存在是以此题得证。专业技术资料word资料下载可编辑2.1利用导数定义推出：（1）(zn)、=nzn-1(n为正整数)；解==(nz+cz+...+c)=nz专业技术资料word资料下载可编辑2.1(2)()ˊ=-==-专业技术资料word资料下载可编辑(2)f(x)=2x3+3y3i解：∵u=2x3，v=3y3。,,,上述4个偏导处处连续，但仅当2x2=3y2时C-R方程成立。因而函数只在直线±=0上

8、可导，但是在复平面上不解析。专业技术资料word资料下载可编辑习题22.2的第一小题下列函数在何处可导？何处解析？解：专业技术资料word资料下载可编辑专业技术资料word资料下