复变函数—课后答案习题四解答.pdf

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1、习题四解答1．下列数列{α}是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：n−n1i+n⎛⎞ini−nπi/21）α=；2）α=+⎜1;⎟3）α=−(1)+;4）α=e；5）nnnn1i−n⎝⎠2n+11−nπi/2α=enn221i+−nn12n12−nn解1）α==+i，又lim=−1,lim=0，故α收敛，n2222n1i−+nn11+nnn→∞11++nn→∞limα=−1nn→∞−nnn⎛⎞i2⎛⎞−iθ⎛⎞2−iθ2）α=+⎜⎟1=⎜⎟e，又lim⎜e⎟=0，故α收敛，limα=0nnn⎝⎠2⎝⎠5n→∞

2、⎝⎠5n→∞n3）由于α的实部{(1−)}发散，故α发散nn−nπi/2nnππ4）由于α==ecos−isin，其实部、虚部数列均发散，故α发散nn2211−nπi/2nnπ1π11nnππ5）α==ecos−isin，知limcos=0,limsin=0，nnn22nnn→∞nn22→∞故α收敛，limα=0nnn→∞2．证明：⎧0,

3、α

4、<1,⎪⎪∞,

5、α

6、>1,nlimα=⎨n→∞⎪1,α=1,⎪⎩不存在，

7、

8、αα=1,≠1.3．判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：∞n∞n∞n∞ii(6+5i)cos

9、in1）∑；2）∑；3）∑n；4）∑n。n=1nn=2lnnn=18n=22nπnπ∞cos∞sinnnnππ22解1）由ic=+osisin，∑与∑为收敛的交错项实级数，22n=1nn=1n∞nn∞nii1i所以∑收敛，但=，故∑发散，原级数条件收敛；n=1nnnn=1n1112）与1）采用同样的方法，并利用≥(n≥2)；lnnnnnn⎛⎞∞⎛⎞∞n(6+5i)6161(6+5i)3）因n=⎜⎜⎟⎟，而∑⎜⎜⎟⎟收敛，故∑n绝对收敛；88⎝⎠n=1⎝⎠8n=18∞chncosin4）因cosin=chn，

10、而limn≠0，故∑n发散。n→∞2n=224．下列说法是否正确？为什么？（1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；（2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；（3）每一个在z连续的函数一定可以在z的邻域内展开成Taylor级数。00∞n解（1）不对。如∑z在收敛圆z<1内收敛，但在收敛圆周z=1上并不收敛；n=0（2）不对。幂级数的和函数在收敛圆内为解析函数，不能有奇点；(3)不对。如f(z)=z在全平面上连续,但它在任何点的邻域内均不能展开成Taylor级数。∞n5.幂级数∑czn(−2)能否在z

11、=0收敛而在z=3发散？n=0∞n解不能。因如∑czn()−2在z=0收敛，则由Abel定理其收敛半径n=0∞nR≥0−2=2，而3−2=1<2即z=3在其收敛圆

12、z−2

13、<2内，故级数∑czn()−2在n=0z=3收敛，矛盾。6．求下列幂级数的收敛半径：∞n∞2∞z（）n!nnn（1）∑p()p为正整数；（2）∑nz；（3）∑（＋1)iz；n=1nn=1nn=0∞π∞∞ninn⎛⎞in⎛⎞z（4）∑ez；（5）∑ch⎜⎟(z−1)；（6）∑⎜⎟。n=1n=1⎝⎠nn=1⎝⎠lnin解（1）Ra=1/lim

14、n==limnnp1；nnn→∞→∞21n(1+)aannn+1（2）R==1/limlim=lim=0;nn→∞aa→∞n→∞n+1nn+1（3）Ra==1/limnlim1/

15、1+i

16、=1/2；nn→∞n→∞（4）Ra==1/limn1；nn→∞⎛⎞i1（5）Ra==1/limn1/limnch⎜⎟=1/limncos=1；nnn→∞→∞⎝⎠nnn→∞（6）Ra==1/limnlim

17、lnin

18、=∞;nnn→∞→∞∞∞nn7．如果∑czn的收敛半径为R，证明级数∑(Recn)z的收敛半径≥R。n=0n=

19、0∞∞nn证明对于圆

20、z

21、

22、cn

23、

24、z

25、，故由正项级数的比较判别法∑Reczn也n=0∞n收敛即∑(Recn)z在

26、z

27、

28、ρ

29、；n→∞cncnn+1acnn+1/

30、(n+1)幂级数∑z的收敛半径为R==1/limlim=1/

31、ρ

32、；n+1nn→∞ac→∞/(n+2)nn+1n−1ann+1cn幂级数∑ncnz的收敛半径为R==1/limlim=1/

33、ρ

34、；nn→∞an→∞(1+)cnn+1故以上三个幂级数有相同的收敛半径。∞∞∞n9．设级数∑cn收敛，而∑cn发散，证明∑czn的收敛半径为1。n=0n=0n=03∞∞∞nn证明由级数∑cn收敛，知幂级数∑czn在z=1处收敛