复变函数—课后答案习题三解答.pdf

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1、习题三解答3+i21.沿下列路线计算积分∫zdz。0（1）自原点到3+i的直线段（2）自原点沿实轴至3，再由3沿垂直向上至3+i；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向右至3+i。⎧x=3t,解（1）⎨0≤t≤1，故z=3t+it，0≤t≤1。dz=(3+i)dt⎩y=t,y于是(z)C4i3+i3+1122()()∫∫zdz=3t+it3+idt00C3C21()3∫2=3+itdt0OC13x13311()326=(3+i)t=3+i=6+i30333++i3i⎧x=3t,2222(0≤t≤1)（2）∫∫∫∫0zdz=0zdz+C1zdz+C2zdz。C1

2、之参数方程为⎨；C2之参数方程为⎩y=t,⎧x=3,⎨(0≤t≤1)⎩y=t,3+i2121226故∫∫∫zdz=9t⋅3dt+()3+it⋅idt=6+i。00033++ii3i22222（3）zdz=zdt+zdz=zdz+zdz。∫∫∫00i∫C3∫C4C:z=it()0≤t≤1；C:z=3t+i(0≤t≤1)，343+i2121226故∫∫∫zdz=−t⋅idt+()3t+i⋅3dt=6+i000321+i22．分别沿y=x与y=x算出、积分∫(x+iy)dz的值。0解（1）沿y=x。此时z=t+it()0≤t≤1。dz=(1+i)dt，于是1+i()(

3、)21212⎛1i⎞15∫∫x+iydz=t+it()1+idt=()1+i∫()t+itdt=()1+i⎜+⎟=−+i。000⎝32⎠6622（2）沿y=x，此时z=t+it()0≤t≤1。dz=(1+i2t)dt，故1+i111∫∫()()222()223x+iydz=t+it1+i2tdt=()(1+i∫∫t1+i2t)()dt=1+i(t+i2t)dt0000⎛1i⎞15=()1+i⎜+⎟=−+i。⎝32⎠663．设f()z在单连域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，问∫∫Re[f(z)]dz=Im[f(z)]dz=0CC是否成立，如果成立，给出证

4、明；如果不成立，举例说明。解未必成立。令f()z=z，C:z=1，则f(z)在全平面上解析，但是-1-2π2π∫[]()∫[iθ]iθRefzdz=Reede=cosθ()−sinθ+icosθdθ=πi≠0C∫002π2π∫∫[]()[iθ]iθImfzdz=Imede=∫sinθ()−sinθ+icosθdθ=−π≠0C0014．利用单位圆上z=的性质，及柯西积分公式说明î∫zdz=2iπ，其中C为正向单位圆周1z=。zC1解îî∫∫zdz==dz2iπ，（利用柯西积分公式）zCCz5．计算积分dz的值，其中C为正向圆周：（1）z=2；（2）z=4∫Cz24

5、解（1）因在z=2上有z=2，z⋅z=z=4，从而有z=，故有z4z2Z∫∫Czdz==2dz=∫z=2dz=4πiz2z216（2）因在C上有z=4，z⋅z=z=16，从而有z=，故有z16z4Z∫∫Czdz==4dz=∫z=4dz=8πiz4z6．利用观察法得出下列积分的值。解利用柯西－古萨基本定理和柯西积分公式。7．沿指定曲线的正向计算下列各积分。zdze（1）∫Cdz，C:z−2=1（2）î∫C22，Czaa:−=z−2za−izedzzdz（3），Cz:−2i3/2=（4），Cz:2=î∫2î∫z+1z−3CCdz3（5）,Czr:=<1（6）zzco

6、sdz，Cz为包围＝的闭曲线0î∫C(1zz23−−)(1)î∫Cdzsinzdz（7），Cz:3/2=（8），C:z=1î∫(1zz22++)(4)î∫CzCzsinzedz（9）dz，C:z=2（10），C:z=1∫Cπ2î∫Cz5⎛⎞⎜z−⎟⎝2⎠zez2解（1）由Cauchy积分公式，dz=2πie=2πei∫z=2Cz−21dzz+a1π（2）解1：∫∫22=dz=2πi=i，CCz−az−az+az=aadz1⎡11⎤1[]π解2：=dz−dz=2πi−0=i∫∫CCz2−a22a⎢⎣∫Cz−az+a⎥⎦2aaiizzizedzedzz/(+i)e（

7、3）由Cauchy积分公式，==2iπ=π/eîî∫∫2zzz++1-iiCCz=i-2-（4）（5）（6）由柯西基本定理知：其结果均为0（7）因被积函数的奇点z=±i在C的内部，z=±2i在C的外部，故由复合闭路定理及Cauchy积分公式有：dzdzdz∫∫Cz22=−i=122+∫z+i=122(z+1)(z+4)3(z+1)(z+4)3(z+1)(z+4)11()()2()()2z+iz+4z+iz+4=∫z−i=1dz+∫z+i=1dzz−iz+i3311ππ=2πi+2πi=−=022(z+i)(z+4)(z−i)(z+4)33z=iz=−isinzd

8、z（8）由Cauchy积