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《复变函数课后习题答案(全).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、精心整理习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：1i（1）（2）32i(i1)(i2)13i821（3）（4）i4iii1i132i解：（1）z，32i1332因此：Rez,Imz，1313ii3i（2）z，(i1)(i2)13i1031因此，Rez,Imz，101013i33i35i（3）zi，i1i2235因此，Rez,Imz，32821（4）zi4ii14ii13i因此，Rez1,Imz3，2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）13i（3）r(sinicos)（4）r(cosisin)（5）1cosisin(02)i2解：（1）icosisi
2、ne22222i3（2）13i2(cosisin)2e33()i2（3）r(sinicos)r[cos()isin()]re22i（4）r(cosisin)r[cos()isin()]re2（5）1cosisin2sin2isincos222页脚内容'.3．求下列各式的值：5100100（1）(3i)（2）(1i)(1i)2(13i)(cosisin)(cos5isin5)（3）（4）3(1i)(cosisin)(cos3isin3)3（5）i（6）1i55解：（1）(3i)[2(cos()isin())]6610010050505051（2）(1i)(1i)(2i)(2i)2(2)2(
3、13i)(cosisin)（3）(1i)(cosisin)2(cos5isin5)（4）3(cos3isin3)（5）33icosisin22（6）1i2(cosisin)441iz14．设z1,z23i,试用三角形式表示z1z2与2z2解：zcosisin,z2[cos()isin()]，所以124466zz2[cos()isin()]2(cosisin)，12464612125．解下列方程：544（1）(zi)1（2）za0(a0)5解：（1）zi1,由此2ki55z1iei，(k0,1,2,3,4)4444（2）zaa(cosisin)11a[cos(2k)isin(2k)]，当k
4、0,1,2,3时，对应的4个根分别为：44;.'.aaaa(1i),(1i),(1i),(1i)2222xy6．证明下列各题：（1）设zxiy,则zxy222证明：首先，显然有zxyxy；22222其次，因xy2xy,固此有2(xy)(xy),xy22从而zxy。2222（2）对任意复数z1,z2,有z1z2z1z22Re(z1z2)22证明：验证即可，首先左端(xx)(yy)，12122222而右端xyxy2Re[(xiy)(xiy)]11221122222222xyxy2(xxyy)(xx)(yy)，112212121212由此，左端=右端，即原式成立。nn1（3）若abi是实系数代
5、数方程azazaza001n10的一个根，那么abi也是它的一个根。nn证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，z(z)，nn1由此得到：a(z)a(z)aza001n10由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。结论得证。ab（4）若a1,则ba,皆有a1ab证明：根据已知条件，有aa1，因此：ababab1a，证毕。1abaaaba(ab)aab（5）若a1,b1，则有11ab222证明：ab(ab)(ab)ababab，2221ab(1ab)(1ab)1ababab，;.'.因为a1,b1，所以，222222abab1(1a)(b1)0，22a
6、b因而ab1ab，即1，结论得证。1abn7．设z1,试写出使za达到最大的z的表达式，其中n为正整数，a为复数。nn解：首先，由复数的三角不等式有zaza1a，nnnn在上面两个不等式都取等号时za达到最大，为此，需要取z与a同向且z1，即zna应为a的单位化向量，由此，z，a8．试用z,z,z来表述使这三个点共线的条件。123解：要使三点共线，那么用向量表示时，zz与zz应平行，因而二者应同向或反向，2131z2z1即幅角应相差0或的整数倍，再由复数的除法运算规则知Arg应为0或的整数z3z1倍，至此得到：z2z1z,z,z三个点共线的条件是为实数。123z3z19．写出过z,z(z
7、z)两点的直线的复参数方程。1212解：过两点的直线的实参数方程为：xxt(xx)121，yyt(yy)121因而，复参数方程为：其中t为实参数。10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t为实参数）i（1）z(1i)t（2）zacostibsint（3）ztt解：只需化为实参数方程即可。（1）xt,yt，因而表示直线yx;.'.22xy（2）xacost,ybsint，因而表示椭圆122ab1（3）xt,y，因而表示双曲线xy1t11
