广义有限元方法研究进展

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1、第26卷第1期应用力学学报Vol.26No.12009年3月CHINESEJOURNALOFAPPLIEDMECHANICSMar.2009文章编号:100024939(2009)012009620133广义有限元方法研究进展李录贤刘书静张慧华陈方方王铁军(西安交通大学710049西安)摘要:广义有限元方法是常规有限元方法在思想上的延伸,它基于单位分解方法,通过在结点处引入广义自由度,对结点自由度进行再次插值,从而提高有限元方法的逼近精度,或满足对特定问题的特殊逼近要求。基于广义有限元方法对单元形状函数构造理论的深入研究,具有任意内部特

2、征(空洞、夹杂、裂纹等)及外部特征(凹角、角点、棱边等)的复杂问题,都将在简单、且与区域无关的有限元网格上加以求解。本文主要介绍广义有限元方法的基本思想、主要特征及对重要细节的处理策略,包括线性相关性的处理、局部逼近函数的获取、区域上的数值积分技术以及边界条件的处理。与扩展有限元方法和有限覆盖方法比较,分析它们各自的特点。综述广义有限元方法的研究现状、应用,展望广义有限元方法的未来发展。关键词:常规有限元方法(CFEM);单位分解法(PUM);广义有限元方法(GFEM);扩展有限元方法(XFEM);有限覆盖方法(FCM)中图分类号:O3

3、4;O242121文献标识码:A二维的三角形单元或三维的四面体单元)或局部坐1引言标(例如二维的四边形单元或三维的六面体单元)的多项式插值,插值精度通过进一步细化网格(h型),有限元方法的理论基础是变分原理,以单元和或在单元的边、内部增加结点(p型),或二者的结合结点为最基本要素的常规有限元方法,其核心是以h2p型来得到进一步提高。另外,多项式函数在描所求场变量在结点上的值作为待定参数(自由度),述不连续特性上的不足,要求有限元方法的网格必在单元上进行插值逼近,并因此具有诸多卓越的性须能够描述区域的几何特征、材料变化等,只有足够能,如良

4、好的系统方程性态(即对称性、稀疏性和带细的网格才能给出所期望的精度。因而,有限元方状性)、稳定的收敛性、适用于任意复杂的区域和边法在应用中还存在一些实际困难,如含有成百上千界条件以及非线性问题,易于处理边界条件等等。个微小夹杂、空洞和/或裂纹的复杂内部结构问题,相对于其它数值方法而言,有限元方法在理论和实又如含有凹角等不光滑边界的区域问题。如何利用现步骤上都已日臻完善,并诞生了许许多多有限元有限元法高效高精度地解决上述问题,不仅仅是一商用软件,为许多领域大型复杂结构分析提供了重个削减网格剖分工作量问题,实质上需要思维方式要手段,因此,有

5、限元方法的每一点点发展,都将具的变革。近年来有限元方法的重大发展,出发点之有深远的意义。一就是克服常规有限元在这方面的不足。本文主要有限元法在单元内部一般采用整体坐标(例如介绍广义有限元方法,并分析它与扩展有限元法和3基金项目:国家自然科学基金(10472090,10572109);国家973项目(2007CB707705);教育部新世纪优秀人才计划(NCET20420930)来稿日期:2007212204修回日期:2008209222第一作者简介:李录贤,男,1966年生,博士,西安交通大学强度与振动教育部重点实验室,教授;研究方向—

6、——新型数值方法与应用。©1994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第1期李录贤,等:广义有限元方法研究进展97有限覆盖方法的异同。上的形状函数可由下列方式构造[128]广义有限元方法的思想曾零星地出现过,但Sτ=φβ×{1,u1,u2}={φβ,φβu1,φβu2},α[9211]只有单位分解方法出现以后,才开始了其系统(β=α,α+1)(5)[12215]研究,并有必要重新审视以前这方面的工作

7、。其显式表达式为在理论上,广义有限元方法是单位分解方法和常Sτ={φα,φα+1,φαu1,φα+1u1,φαu2,φα+1u2}(6)α规有限元方法的混合产物,它包括两个主要步骤:一也就是说,通过这种具有单位分解特性的Lagrange是采用与区域无关的网格,二是引入特定的局部逼近型有限元形状函数与局部逼近u1和u2的积就可构函数构造单元的形状函数。下面予以详细介绍。造广义有限单元的形状函数(加入单位1的原因将在212节解释),这样,单元τα共有2×3=6个形状2广义有限单元形状函数的函数,每个结点3个。当然,可以增加u1、u2的数目,

8、[12]进一步拓展空间Sτ的维数。构造α211广义有限元单元形状函数构造的基本思路以一维线性有限单元为例,介绍从单位分解法到广义有限元方法的基本思想。研究定义在区域Ω