数学物理方法数理方法1-5(2)

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1、§5.2利用留数计算定积分第5章留数及其应用(2)§5.2利用留数计算定积分11一、三角有理函数的积分(2)idz且coszz,sinzz,令ze,则d,二、广义积分(5)iz22i11三、杂例(20)2zzzzdzR(cos,sin)dR(,)四、多值函数的积分(24)0

2、

3、1z22iiz五、习题(31)2015-4-23四川大学数学学院邓瑾2四川大学数学学院邓瑾21cosmx例1计算积分I2d,0

4、p

5、1例2计算积分I0dx,(m为正整数).012cosp

6、p54cosxzz1dzcosmxsinmx解:令zei,则cos,d解令I1dx,I2dx2iz54cosx54cosximx1dz1dze则IiIdxixI

7、

8、1z12

9、

10、1z1254cosx(令ze)1pz(z)pizi(zp)(1pz)mizizm12iRes1112

11、

12、1z1dz2iRes12i2(z2)(z2)2z(z1)(z2)izp(zp)(1pz)21p222i1pz

13、mm1212z2132z即d,2012cospp21p20

14、p

15、11IRe(IiI)12m2323四川大学数学学院邓瑾4四川大学数学学院邓瑾二、广义积分1.三个重要引理5四川大学数学学院邓瑾6四川大学数学学院邓瑾Jordan引理证明不妨设a0.RABBCCD(如图).(a0时BC).记MR()max

16、()

17、,gz则limMR()0RzRR设zxiy,则当z时,ya,故yRizi(xiy)yixya

18、e

19、

20、e

21、

22、

23、e

24、eeRgze()izdzMRe()aRCBABOxDAa

25、

26、aaiMRe()0(R)sinizizlimgze()dz0,同理limgze()dz0.RABRCD7四川大学数学学院邓瑾8四川大学数学学院邓瑾当zBC时,令zRei,则

27、eiz

28、eRsin,于是2.与有理函数有关的三类典型积分.gze()izdzMR()eRsinRdy典型积分(A):IRxdx()BC02Rsinysinx其中R(

29、x)是有理分式函数,满足:2MRR()eRd0yx(1)分母无实根,从而积分路径上无奇点;由Jordan不等式2xy2(2)分母比分子至少高2次,即limxRx()0,从而积sin(0),Oxx22分I收敛.22RizlBCgze()dz2MRR()0ed注:后面用积分主值PV..Rxdx()limRxdx()llRl2MR()(1e)MR()0(R)代替积分Rxdx()limRxdx(),当后者收敛时l1

30、l1l2iz综上,得limgze()dz0.它们相等.RR9四川大学数学学院邓瑾10四川大学数学学院邓瑾111y例1.计算实积分I022dxRes()Rz2l(1x)(4x)zi(ziz)(4)6iziz2i211yzi解:Idx111x22Res()Rz2(1x)(4x)lz2i2(1zz2)12ilOlz2iz2i21zilimzRz()0,Rz()221xz(1z)(4z)lOl由大圆弧引理,limRzdz()0.

31、ll当l充分大时,函数R(z)在围线内有两个一阶极点z1i,z2i,由留数定理112llimCRzdz()0Rxdx()2i6i12il6lCRzdz()Rzdz()lRxdx()1ll2iRes()RzRes()Rz故I2Rxdx()12ziz2i11四川大学数学学院邓瑾12四川大学数学学院邓瑾典型积分(B)cosx例2.计算实积分Idxx22x2yI1Rx()cosxdxI2Rx()s

32、inxdxixe解：IRedxlx22x2其中,R(x)是有理分式函数,满足:izz1iize1(1)分母无实根,从而积分路径上无奇点;令Fz()Rze()x2z2z2lOl(2)分母比分子