数学物理方法习题(2)

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1、P167一、填空71.函数3二一，将Z平面的图形：以原点为中心，R为半径的圆，变为3平面的图形：［JR答案:以原点为屮心的单位圆：z=14.就单、多值而言，函数sinVz是［］值函数.答案：单P168五•试将函数7(z)=1(z-4)(z-3)以z=2为中心在全平面展开Taylor或Laurent级数.答案:f(z)=(z-3)(z-4)亍-百在复平面内有两个孤立奇点“3和z=4,故函数在如图1.50的圆域

2、z-2

3、

4、z-2

5、<2和圆外区域

6、z-2

7、>2内均解析,我们能在这些区域中分别将函数展开为Taylor或Laurent级数。1°在

8、z-2

9、<冲117^3~(Z-3)-1

10、l-(z-2)=-Z(z-2)“01_]_111^4-(z-2)-2~~2tz-2所以加=士-士喀(i-歩)(z-»这是一Taylor展开。2°在l<

11、z-2

12、<2中而」一的展开式同2式，故有心-診(“2)违占这是一具在正、负幕的Laurent展开。3°在

13、z-2

14、〉2中1_]_11z—4(z—2)—2z—2

15、2z-28A=02a(z-2fooR=11(^2)而士的展开式同时3式，故有f(z)=X2^k=这是一仅具有负幕的Laurent展开。P168一填空和选折填空］值函数•其支点是［］1.多值函数乂八+1)+“_4是【答案：6；0,—1,2,—2,00J.2•己知一解析函数/(z)的

16、虚部为兀+y，则该解析函数为/(z)=L答案:(1+Oz+ZC4•函数/（z）以b为屮心的Laurent展开的系数公式为［答案：AAG步加B.Ln(z2)+2Lnz;D.Lnz—Lnz=O;5由对数函数的定义有[]A.Ln(Z]•Z2)=Lnz,+Lnz2;C.Ln(Z]/z2)=LnZ]—Lnz?；答案：A,CP169四、试将函数/仗）=丄按下列要求展开成幕级数，并指出展开级数的名称和收敛范围.Z+11.在/（Z）的孤立奇点的去心邻域展开；2.以z=i为中心展开.答案：1./⑵二丄仅有唯一的独立奇点：z=-1,于是在孤立奇点的去心邻域z+10<

17、z+l

18、

19、i仅具有负一次幕的Laurent级数2•由于奇点z=-1与展开屮心z=啲距离为故以z=i为屮心能在如下的两个区域屮展开:1°在中f(z===z+1(z-z)+l+zl+z1+z-z1+Z这是一Taylor级数.2°在

20、z-1

21、＞血中这是一具有无穷多项负幕的Laurent级数.P288例1求解定解问题2u.=auxx^0w(x,0)=3sinx,仏(兀,0)=0解：对照有界眩的自由振动，此处1=兀，(p(x)=3sin兀,0(兀)=0.于是由公式(2.3.4)〜(2.3.5),有故由三角函数的正交性有4三0（心1），A=：L3silfGdG=3/C而Bn=0•sinnci

22、dci=0ruia故该定解问题的解为u{x.t）=3cosmsinx实际上在用分离变量法求解定解问题时，若初始条件本身己是Fourier级数的展开式的形式,则大可不必再用系数公式求积分去算系数，这只会自找麻烦。由于Fourier展开的唯一性，对于此种情况，只要将形式解代入初始条件，比较等式两边同一个三角函数的系数，即可立即求得展开系数。女山对于本题，将4式代入3式有8sinnx=3sinx//=!显然，要是5式成立，只能是三05h1），A=3.而要使6式成立，只能是B,三0这样处理，当然比用积分公式求系数省事得多。P686一.填空r2ult=auxx-GOc1.定解问题虫〜比

23、（兀,0）=0,仏（兀,0）=1的解为2心,/）=[]答案：w（x,Z）=tP689三.若定义函数/(兀)的Fourier变换为f[[/(兀)]=匸/(兀)e，WXdx11.求F[(5(X)]=?2.求》(x)的Fourier枳分表示式。3.证明F[sinax]=i7i[3(w+ci)-3{w-a)]F[sincix]=;r[5(w+a)+3{w-a)}解3•因为F

24、cosczx]+ZF

25、sinax=F]=j“•fdx加=2虜(q-vv)=2虜(w_a)—OO类似的可得—OOF[cosax-zF[sinax]=幺=2718(-a一vv)=2虜(w+d)3式+4式徂得F[cos^]=

26、刃6(w-d)+5(w+a)3式-4式2iF[sinax]=沅[》(w+a)一3(w-a)]6卩L

27、.利用特殊函数的有关性质，计算下列积分flra31-LPt2XJ.Mdx.解1:fi2L^-=^=2当心1,2,……时p{x)dx=Q