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1、数学物理方法习题一、复变函数1、填空题（1）函数f(z)=eiz的实部Ref(z)=______________。（2）ln1=_________.(3)_________。（4）求积分=______.(5)求积分_________。(6)设级数为,求级数的收敛半径_______________。(7).设级数为,求级数的收敛区域_________。(8)求积分=___________.(9)求积分=____________.（10）设f(z)=,求Resf(0)=_________。2、计算题（1）导出极坐标下的C-R条件：(2)
2、己知解析函数的实部u(虚部v)，求此解析函数：a、b、c、（3）设f(z)是区域D内的解析函数，且f(z)的模∣f(z)∣为常数，证明f(z)在D内为常数。(4)设f(z)是区域D内的解析函数，且f*(z)也是区域D内的解析函数，则f(z)必常数。(5)求函数f(z)=在下列区域ⅰ)0<∣z∣<1；ⅱ)1<∣z∣<∞的Laurent展开。(6)求出下列函数的奇点,并确定它们的类别a、b、c、n为正整数.(7)求下列积分a、b、c、d、ω(二)积分变换1、填空题（1）函数f(t)的Fourier变换的像函数为，求f(t)=______
3、______。（2）函数f(t)的Fourier变换的像函数为F（ω），求对应的原函数为____________。（3）设Laplace变换L[f(t)]=F(p),求L[-tf(t)]=_________.(4)求=____________。2、计算题(1)求函数(β>0)的Fourier变换,证明(2)设.(3)己知某函数的傅氏变换为F(ω)=sinω/ω,求该函数f(x).(4)求下列函数的拉氏变换式：(5)求下列函数的拉氏逆变换式：(6)利用拉氏变换求解下列微分方程：（7）利用拉氏变换求下列积分，(三)数学物理方程练习题1、
4、填空题（1）长为L的均匀细杆,一端绝热,另一端保持恒度u0,试写出此热传导问题的边界条件_________，_________。（2）长为L的均匀杆作纵振动时，一端固定，另一端受拉力F0而伸长，试写出杆在撒去力F0后振动时的边界条件_________，_________（3）长为L的均匀细杆,一端有恒定热流q0流入,另一端保持恒温T0,试写出此热传导问题满足的边界条件____________,_________。（4）.长为L的均匀杆,一端固定,另一端受拉力F而伸长,放手后让其自由振动,试写出杆振动满足的初始条件=_________
5、___，_________。（5）对球函数YLm（θφ）,当m＞L时,为YLm（θφ）______。（6）对m阶贝塞尔函数Jm（x），,J0（0）=____。（7）无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为Sin(kx),初始速度为零,则弦上任意时刻的波动为______________。(其中a为弦上的波速,k为波矢的大小)（8）无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为φ(x),初始速度为aφ，(x)，（a为弦上的波速）则弦上任意时刻的波动为______________。（9）稳定的温度场的温度分布u满足的数学物理方程为___________
6、__。（10）对m阶贝塞尔函数Jm（x），。（11）对L阶勒让德多项式PL（x）,积分=___________.（12）对L阶连带勒让德多项式,当m>L时,=______.（13）半径为R的园形薄膜,边界固定,当其振动时的最低本征频率为___________.2、计算题(1)试用分离变量法求出下列定解问题的通解,并确定系数.(1)试用分离变量法求出下列定解问题的通解,并确定系数.（3）求解下列定解问题(ω为常数,0＜x＜L,0＜t）（4）求解下列定解问题Utt—a2Uxx=ASinωt（A，ω为常数）U（0,t）=0,U（L,t）=
7、0U（x,0）=0,Ut（x,0）=0（5）求解下列定解问题Ut－a2Uxx=0（0≤x≤L,t>0）U
8、x=0=0,U
9、x=L=ASinωt,（A、ω,为常数）U
10、t=0=0（6）求解下列定解问题Utt－a2Uxx=0U
11、x=0=0,U
12、x=L=ASinωtU
13、t=0=0,Ut∣t=0=0(其中A、ω为常数,0＜x＜L,0＜t）（7）求解下列定解问题Ut－a2Uxx=－bUxU（0,t）=0,U（L,t）=0U（x,0）=φ（x）(其中a,b为常数,0＜x＜L,0＜t）（6）在x0=0的邻域试用级数解法求微分方程:（7）在x0=0
14、的邻域试用级数解法求微分方程:（8）在x=0的邻域上用级数解法求解方程（9）在x=0的邻域上用级数解法求解方程（10）一个半径为R的导体球放入均匀电场中,原均匀电场的场强为E0,求空间的电势分布,已知定解问题为,△U=0U∣r=R=0
