数学物理方法习题

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1、数学物理方法习题一、复变函数1、填空题(1)函数f(z)=eiz的实部Ref(z)=______________。(2)ln1=_________.(3)_________。(4)求积分=______.(5)求积分_________。(6)设级数为,求级数的收敛半径_______________。(7).设级数为,求级数的收敛区域_________。(8)求积分=___________.(9)求积分=____________.(10)设f(z)=,求Resf(0)=_________。2、计算题(1)导出极坐标下的C-R条件:(2)

2、己知解析函数的实部u(虚部v),求此解析函数:a、b、c、(3)设f(z)是区域D内的解析函数,且f(z)的模∣f(z)∣为常数,证明f(z)在D内为常数。(4)设f(z)是区域D内的解析函数,且f*(z)也是区域D内的解析函数,则f(z)必常数。(5)求函数f(z)=在下列区域ⅰ)0<∣z∣<1;ⅱ)1<∣z∣<∞的Laurent展开。(6)求出下列函数的奇点,并确定它们的类别a、b、c、n为正整数.(7)求下列积分a、b、c、d、ω(二)积分变换1、填空题(1)函数f(t)的Fourier变换的像函数为,求f(t)=______

3、______。(2)函数f(t)的Fourier变换的像函数为F(ω),求对应的原函数为____________。(3)设Laplace变换L[f(t)]=F(p),求L[-tf(t)]=_________.(4)求=____________。2、计算题(1)求函数(β>0)的Fourier变换,证明(2)设.(3)己知某函数的傅氏变换为F(ω)=sinω/ω,求该函数f(x).(4)求下列函数的拉氏变换式:(5)求下列函数的拉氏逆变换式:(6)利用拉氏变换求解下列微分方程:(7)利用拉氏变换求下列积分,(三)数学物理方程练习题1、

4、填空题(1)长为L的均匀细杆,一端绝热,另一端保持恒度u0,试写出此热传导问题的边界条件_________,_________。(2)长为L的均匀杆作纵振动时,一端固定,另一端受拉力F0而伸长,试写出杆在撒去力F0后振动时的边界条件_________,_________(3)长为L的均匀细杆,一端有恒定热流q0流入,另一端保持恒温T0,试写出此热传导问题满足的边界条件____________,_________。(4).长为L的均匀杆,一端固定,另一端受拉力F而伸长,放手后让其自由振动,试写出杆振动满足的初始条件=_________

5、___,_________。(5)对球函数YLm(θφ),当m>L时,为YLm(θφ)______。(6)对m阶贝塞尔函数Jm(x),,J0(0)=____。(7)无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为Sin(kx),初始速度为零,则弦上任意时刻的波动为______________。(其中a为弦上的波速,k为波矢的大小)(8)无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为φ(x),初始速度为aφ,(x),(a为弦上的波速)则弦上任意时刻的波动为______________。(9)稳定的温度场的温度分布u满足的数学物理方程为___________

6、__。(10)对m阶贝塞尔函数Jm(x),。(11)对L阶勒让德多项式PL(x),积分=___________.(12)对L阶连带勒让德多项式,当m>L时,=______.(13)半径为R的园形薄膜,边界固定,当其振动时的最低本征频率为___________.2、计算题(1)试用分离变量法求出下列定解问题的通解,并确定系数.(1)试用分离变量法求出下列定解问题的通解,并确定系数.(3)求解下列定解问题(ω为常数,0<x<L,0<t)(4)求解下列定解问题Utt—a2Uxx=ASinωt(A,ω为常数)U(0,t)=0,U(L,t)=

7、0U(x,0)=0,Ut(x,0)=0(5)求解下列定解问题Ut-a2Uxx=0(0≤x≤L,t>0)U

8、x=0=0,U

9、x=L=ASinωt,(A、ω,为常数)U

10、t=0=0(6)求解下列定解问题Utt-a2Uxx=0U

11、x=0=0,U

12、x=L=ASinωtU

13、t=0=0,Ut∣t=0=0(其中A、ω为常数,0<x<L,0<t)(7)求解下列定解问题Ut-a2Uxx=-bUxU(0,t)=0,U(L,t)=0U(x,0)=φ(x)(其中a,b为常数,0<x<L,0<t)(6)在x0=0的邻域试用级数解法求微分方程:(7)在x0=0

14、的邻域试用级数解法求微分方程:(8)在x=0的邻域上用级数解法求解方程(9)在x=0的邻域上用级数解法求解方程(10)一个半径为R的导体球放入均匀电场中,原均匀电场的场强为E0,求空间的电势分布,已知定解问题为,△U=0U∣r=R=0

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