数学物理方法2

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1、第一章复变函数论复变函数的极限与连续：当z趋向于z0时，f(z)均趋向于f(z0)，即称f(z)在z0点连续。第一章复变函数论$3.复变函数的微分假设w=f(z)是区域G内的单值函数，如果在G内的某点z，存在，那么f(z)在z点可导（可微）。（必须是沿任何路径逼近都能得到相同的结果。）复变函数可导要求比实变函数要严格得多。第一章复变函数论例：f(z)=z2例：f(z)=Re(z)第一章复变函数论假设沿实轴逼近：沿虚轴逼近：因此：(Cauchy-Riemann方程)第一章复变函数论1、复变函数可微，其实部和虚部是不独立的。2、这仍然只有2

2、种逼近路径，不代表所有逼近路径都相等。例：在z=0处是否可微？取,有：f(z)不可微，但是沿实轴或虚轴逼近均为0。第一章复变函数论复变函数可微条件：如果u(x,y)和v(x,y)在z点均可微(存在且连续)，而且满足Cauchy-Riemann方程，则f(z)在z点可微。第一章复变函数论沿径向和横向分别逼近，可以得到极坐标下的Cauchy-Riemann方程：第一章复变函数论复变函数可微vs二元函数可微第一章复变函数论二元函数可微：过该点任意曲线和某平面相切。1、偏导数存在2、偏导数连续第一章复变函数论两三角形相似。第一章复变函数论第一章

3、复变函数论$4.解析函数在区域G内处处可微的函数，称之为解析函数。因为解析函数的实部和虚部并不独立，因此只要知道解析函数的实部（虚部），就能知道它的虚部（实部）。第一章复变函数论例：u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：因此第一章复变函数论为何刚好凑成了全微分？同样有：第一章复变函数论u(x,y)和v(x,y)满足2维的Laplace方程，称之为调和函数。U和v互为共轭，称之为共轭调和函数。第一章复变函数论将Cauchy-Riemann方程两边分别相乘：第一章复变函数论平面标量场、正交函数族：u(x,y)=c1和v(x,y)=c

4、2互相正交。u(x,y)=const和v(x,y)=const是互相正交的曲线族。第一章复变函数论第一章复变函数论Q：推导极坐标下的Cauchy-Riemann方程。习题:1.4,1.8,1.9,3.4,3.7(p5)