数学物理方法1-2

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1、1.2复变函数一、复平面上的区域关于区域严格定义所涉及到的概念：1．点a的ε邻域：以复数a为圆心，任意小的正实数ε为半径的一个开圆，即满足

2、z–a

3、<ε的点的集合。点a的无心邻域：0<

4、z–a

5、<ε（不包含a点）2．内点：若某点的ε邻域中所有的点属于D，则该点称为D的内点。3．边界点：若某点不属于D，但其ε邻域内含有属于D的点，则该点称为D的边界点。4．外点：若某点不属于D，且其ε邻域内不含有属于D的点，则该点称为D的外点。区域的严格定义：满足如下两个条件的点集D称为区域(开区域)：(1)每一点

6、都是内点(开集性)——对比开区间(2)任意两点都可用一条由点集D的点组成的曲线连接(连通性)开区域D：边界线L所包围的区域闭区域D：开区域D+边界线L区域D通常用不等式表示。有关例子：•

7、z

8、

9、z

10、=R是以z=0为圆心，R为半径的圆周——开区域D的边界线(3)是z≤以z=0为圆心，R为半径的一个闭圆—闭区域D区域又可分为：单连通区域和复连通区域。如下图：左图：边界由一条闭合曲线L组成；中图：边界由两条不相连接的闭合曲线L1和L2组成；右图

11、：边界由三条不相连接的闭合曲线L1、L2和L3组成。定义：连通阶数——区域不相连接的边界数目n。n=1：单连通区域；n>1：复连通区域单连通区域与复连通区域的本质区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。连续变形：变形时不能通过不属于D的区域。降低连通阶数的方法：做割线将两条边界线连接起来。应用：可将单连通区域成立的定理推广到复连通区域。例1.画图说明以下式子在复平面上代表什么样的区域，并讨论它们的通性：()az<2()1b

12、(a)是一个区域，它只有一条边界线，即以原点为圆心，半径为2的圆周，因此是一个单通区域；(b)是一个环域，它有两条边界线——以-i为圆心的两个同心园，这是一个双通区域,(c)的边界除了以z=1为圆心，半径为2的圆周外，还有一个点z=1,它们相互不连接，因此这也是一个双通区域，通常称区域(c)为内半径等于零的环域。二、复变函数复数→复变量→复变函数复变函数的定义定义：设E为一复数集，如果E上每一个复数z有唯一确定的w与之对应，则称在E上确定了一个单值函数。记为：w=f(z)(z∈E)w：z的函数；

13、z：w的自变量(或宗量)因为z=x+iy，所以复变函数w的实部和虚部应是x,y的函数。即w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)——一个复变函数是两个二元实变函数的有序组合这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植复变函数中。定义：如果对于自变量z，对应着两个或两个以上的w,则称在E上确定了一个多值函数。(在3.5节中介绍多值函数)三、复变函数的几何意义——由z平面到w平面的映射单值实变量函数y=f(x)，可表示为平面上的一条曲线。对于单值复变量函数：自变量z=x+iy，复变函数w=f(z

14、)=u+iv四个实变量：x,y；u,v不能用二维、三维空间中的几何图形表示z和f(z)办法：可用z平面上的点(x,y)表示自变量z的值，而用另一个w平面上的点(u,v)表示复变函数w=f(z)=u+iv的值。对应关系f(z):从z平面到w平面的一个映射——复变函数的几何意义例2试讨论由函数w=z2所实现的映射。iθiϕ解令z=re,w=ρeiϕ22i2θ2则w=ρ=z=re⇒ρ=r,ϕ=2θz平面上的点映射到w平面上时，其模平方，而辐角加倍，由此可见，z平面上的第I象限变成w平面上的上半平面如图

15、1-2-6。我们来看，映射w=z2将z平面上的什么曲线变成w平面上的平行于坐标轴的直线族u=c和v=c'为此将z2展开：w=z2=x2−y2+2ixy22即u=x−y,v=2xy因此，和w平面上的直线族(1-2-3)相对应的是z平面22上的曲线族x−y=c,2xy=c'。如图(1-2-6)中的虚线和实线，这是两族相互正交的双曲线族。例3.已知w=f(z)=1/z，问曲线

16、z–a

17、=

18、a

19、(a为复数，见下图)被映射为怎样的图形？求w满足的方程。解：首先由z满足

20、z–a

21、=

22、a

23、，得2(zaz−)(

24、*−a*)=aaϕ将w=1/z代入，便有a112(−a)(−a*)=aww*两边乘ww*,整理后可得awaw+**1=即2Re(aw)1=其次，只要找到u,v遵守的方程，便可知

25、z–a

26、=

27、a

28、被映射为怎样的图形，将w=+uiva,=a(cosϕ+isinϕ)aa代入2Re(aw)=1，便有12Re(=aw)=2au(cosϕ−vsinϕ)aa1ucosϕ−vsinϕ=即aa2a这是直线方程。这表明，题设曲线经w=f(z)=1/z映射到w平面是一直线。四、初等复变函数(类型，性质)基本初等函数：