数学物理方法

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1、物理学专业必修课程数学物理方法MathematicalMethodinPhysics西北师范大学物理与电子工程学院第九章Bessel函数---柱坐标系中的分离变量法及其应用通过柱坐标系中对定解问题进行分离变量，可引出Bessel方程、Bessel函数。Bessel也称圆柱函数（柱函数）是理论物理与某些技术科学中经常遇到的一类特殊函数。1732年伯努利研究悬链的摆动问题，以及1764年Euler研究拉紧的圆膜的振动问题时，都涉及到这类函数。引言1824年法国数学家Bessel(F.W.Bessel1784-1846)在研究天文学时又碰到了这类函数，并首次系统地研究了这类函数。自此以后，人们

2、就称这类函数为Bessel函数,并被广泛的应用到物理学和技术科学领中。9.1Bessel方程的导出以下就以圆膜振动问题为例来导出Bessel方程。（说明：也可以圆盘的瞬时温度分布等问题来推导或电磁波的传播问题来推导，包括Laplace方程）其中为已知正数，和为已知函数。该定解问题与坐标无关，故又称为柱面问题。考虑固定边界的圆膜振动，可归结为定解问题：有即（亥姆霍兹Helmhotz方程）利用分离变量法，作试解代入边值条件为求Helmhotz方程满足的解，变换到柱坐标系下令则有或该方程的解与变量无关，故称为柱面函数（柱函数），若原方程中含也可将含的变量单独分离出去仍定为此形式，如方瑛再令得是

3、单值函数所以应是以为周期的周期函数取整数0,对方程若就为Euler方程,习惯上令则该方程变为：即再令得即是单值函数，也必是单值的，因此应是以为周期的周期函数.------阶Bessel微分方程取整数0,对方程若就为Euler方程,习惯上令则该方程变为：此时，边界条件为：即9.2Bessel方程的求解阶Bessel方程为二阶变系数常微分方程，其中为给定的实数。由常微分方程理论，设方程如果都能在的某邻域内展成的幂级数，则在该邻域内方程有如下的形式的广义幂级数解：其中均为常数，以下确定，将代入Bessel方程得要使该等式成立，必使各项幂的个数成为0和从而有若取则有i.具有连续的任意阶导数ii.

4、iii.iv.v.为得到一简洁的解，取（规定）则而称为阶Bessel函数（第一类Bessel函数），收敛域取同样可得通解，引进阶第二类Bessel函数（诺律谩函数），记为即其中线性无关。对任意实数Bessel方程的通解为其中为任意实数。当为任意值，由第一、第二类Bessel函数还可以构成线性无关的第三类Bessel函数：分别称为第一类、第二类连续函数，Bessel方程的通解为：（说明：第一、第二、第三类Bessel函数分别称为Bessel函数、诺律谩函数、汉克尔函数，又称为第一、第二、第三类柱函数。）