数学物理方法课后答案 (2)

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1、第二章复变函数的积分习题1.2.11.计算积分∫zdz，其中曲线l是：（1）连接-1到1的直线段，（2）连接l-1到1，中心在原点的上半圆周。(3)单位圆的下半圆周。解：（1）在沿实轴的积分路线上，y=0,zx=,dz=dx,10111101122故∫∫∫zdz=−+xdxxdx=−+=xx+=1−−110222−102iθ（2）在沿单位圆下半圆周的积分路线上，ze=，00iiϕϕiπ故∫∫zdz==11iiedϕe=−e=2lππ2πiiθθ（3）在沿单位圆周的积分路线上，z=ee，故I3=∫idθ=2π24+i2

2、2．计算积分∫zdz，其中曲线l是：1+i2（1）沿抛物线xtyt==,，其中12≤t≤（2）沿连接1+i到24+i的直线。（3）沿1+i到2+i，再到24+i的折线2222234解：（1）zxi=+=+ytit,zti=(1+=+−tti)2ttdz=+(12)itdt24+i22234I==∫∫zdz(2)t+it−t(12+itdt)11+i2233445=++−−∫(224titittti−2)tdt132122⎡⎤t4563456=+−−⎢⎥ittt=+−−(33)tittit⎣⎦36113186=+−−−

3、[(8iii489664)(13+−3−=−i)]6i33（2）沿连接1+i到24+i的直线。yx−11−直线方程为：=，即yx=32−4121−−24++ii24222Iz==−∫∫dzx[(y)2++ixy](dxidy)11++ii28622=−−+−+=∫[xx(32)2(3ixx2)](13)idx−−6i13（3）沿1+i到2+i，再到24+i的折线。24+i22Ix=−∫[(y)2++ixy](dxidy)1+i2486=−[(xi221)2]++−xdxi[(4y)4]−=iydy−−6i∫∫113(

4、2.4)23.试计算积分Iy=+∫[(2x)dx+(3x−y)dy],积分曲线分别为(0.3)(1)沿(0,3)到(2,4)的直线；(2)沿(0,3)到(2,3)，再由(2,3)到(2,4)的折线；2(3)沿抛物线x=2t,y=t+≤3,其中0t≤1.解(1)沿(0,3)到(2,4)的直线方程为2y-x-6=0,即x=2y-6，故449722I=+{[2yd(2y-6)]2yy+−[3(2y-6)]dy}(=−83yyd95+=4)y1∫∫336(2)沿(0,3)到(2,3)的路线上，y=3,dy=0;再由(2,3)

5、到(2,4)的路线上，x=2,241032dx=0,故I=⋅(23++⋅xdx)(32−=ydy)2∫∫036(3)在抛物线上，点(0,3)及(2,4)分别对应t=0和t=1，故113322223I=+{[2(t3)(+++=2t)]2dt[3(2t)-t(3)]2tdt}(24tt+−−1226)tdt=3∫0∫02dz4.计算积分∫,积分曲线分别为(1)连接−ii到，单位圆的右半圆周；lz(2)连接−−ii到单位圆左半圆周；连接(3)11到的单位圆下半圆周；(4)连接−11到的单位圆上半圆周ππiθiθππdz2

6、2de解(1)在单位圆上，ze=,−≤≤θ,I===idθπ=i1∫∫∫Cππiθ22Rze−−22πiθππ3dz2(2)在单位圆上，ze=≤,θθ≤===,Iid−πi2∫∫3π22CRz2dz2πiθ(3),在单位圆上，ze=≤πθπ≤===2,Iidθπi3∫∫CRzπdz0iθ(4)在单位圆上，ze=≤,πθ≤===0,Iidθπ−i4∫∫CRzπ5.若fD()ξ在连续，试由极限定义出发证明，可以交换取极限与求积分顺序。ff()ξξ()即limddξξ=,式中为的边界，为的内点。LDzDΔ→z0vv∫∫LL

7、()ξξ−−zzz(−Δ)()ξ−z2解由极限定义出发，任给εδ>0,如果存在()>0，当εδΔ

8、(−Δ)f()ξ≤Δzdξδ，现在讨论能否找到()，使当εΔ