数学物理方法课后答案 (1)

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1、第一章复变函数与解析函数习题1.1.1111.设是z复数，且z=1，求证ω=+(z)是实数−11≤≤ω.2z111*++z⎯⎯→z=11*解:ω=+()z=()zz2←⎯⎯()z=x2z22z由z=1时，−≤≤11x，∴−11≤≤ω2．写出下列各复数的三角表示式和指数表示式：31+i(3)1−i3(1)i(2)e(4)ai+b−3（5）1c−+osαisin,0αα≤≤π（6）(3)+i2i（7）−+1iπik(2+π)ie=2解：（1）由，k=0,1,2π2ik()+πππ223i==+ek63cos(π)++isin(kπ)∴63631+ii（

2、2）ee==ee(cos1+isin1)，因φ=1πiarctg⎡⎤(3−+)2kπ−i⎣⎦3（3）13−=i13+ee=2ππ=−2(cosisin)331⎡⎤ik(argb+2π)2（4）22aai+=b⎢⎥abe+⎣⎦1bik(arg+π)4222a=+abe422⎡⎤11bb=+abcos(arg++kiπ)sin(arg+kπ)⎢⎥⎣⎦22aaπα−αiαπ⎡−−α⎛⎞πα⎤1cos−+=ααiesin2sin2=2sincos+isin⎜⎟（5）⎢⎥22⎣2⎝⎠2⎦3π−3(3)−i11−i21π（6）(3)+=ii33=−=e=−is

3、in(3)(3)+−ii8882π2i−iππ==22ei4(cos−sin)（7）−+14i43．根据棣摩弗公式用sinφ和cosφ表示cos4φ和sin4φnknin!kn−k解：cosninφ+=+sinφφ(cosisin)φ=∑sinφcosφk=0knk!(−)!24!43ii4!4!22∴cos4φ+=isin4φφφcos+sincosφφ+sincosφ0!4!1!3!2!2!34ii4!344!++sinφcosφφsin3!1!4!0!422422=−(cosφ6sinφφφcos++sin)i4cossin(cosφφφ−s

4、inφ)4224∴cos4φ=−cosφφ6sincosφ+sinφ22sin4φ=−4cossin(cosφφφsinφ)4.求证1φ1φnsin(n+−)φsinn−++cos(n)φcos∑coskφ=22∑sinkφ=22φφk=12sink=12sin22naq1(1−)n证：利用等比级数前n项求和公式sn=计算ikφ，并将欧拉公式1−q∑ek=1ikφek=+cosϕisinkϕ代入，可得nniiφnφ+==ikφee(1−)⎯分子母同乘（-1）⎯⎯⎯⎯⎯→∑∑(coskikϕϕsin)eiφ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯kk==111−e11in()

5、+φiφeeiiφφn−−1e22e==i111iiφφ−iφφeee22−22sini211φφcos(nn+−)φφcossin(+−)sin2222=−i+φφ2sin2sin22由两式实部与实部相等，虚部与虚部相等，即得证。πyπy5．已知反正切的主值范围为−

6、=1,1,试证明∗=11−ab解：以a=1乘分母，得ab−ab−−−abab.====1∗∗∗1−−abaa1−−baaababzz−zz−21137.设复数zzz123,,满足=−，试证zz21=zz31−=zz23−zzzz−−3123解令分式等于C.若C=0，则zzz12==3，结论得证；若C0≠c=12只要证明即可。原式取模，得zzzzzz13−=−2123−①2原式两边分别减1通分后取模得zzzzzz23−=−−1231②3将①式与②式相除，易见cc==1,即1，由此得证。228.试利用Rezxxyz=≤+=证明zzzzzzzz12121

7、212+≥+,−≥−证将第一个不等式两边平方，则不等式右边的式子为2∗∗∗∗∗zz+=+()zzzz()+=+++zzzzzzzz1212121122121222∗∗22=+zz2Re(z)+≤+zz2zz+z11221122两222=+zz2(z+=+zzz)112212边开方得第一式，同理得第二式9.试利用实数序列极限存在的科西判别法，证明复数序列极限存在的科西判别法：任给εε>−0(，存在自然数N)时，对任意正整数，有pzz>ε,则的极限存在。znp+n证：必要性。设limzz=>,根据极限定义：任给εε0，存在N()>0，使当n>N时，n0

8、n→∞εε有zz−<对自然数也有pzz−