《数学物理方法》07级数理方法期中测验答案

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1、数学物理方法期中测验试题一填空题（每题5分，共20分）1现冇一长度为/的均匀细弦，弦的兀=0端固定，兀=2端受迫作简谐振动Asin妙，弦的初始位移和初始速度都是零，那么弦的位移函数«（x,r）所满足的定解问题是（）。ufr=a2uxx（00）,…仁血（r>0）,心0=0’均Lo"（om）・2有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温如，那么此矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是（）。uxx+uyy=0（0

2、心o=O,心严。（0

3、(r)二0,[/?(□)=0,

4、/?(0)

5、0,此时(1)中方程的通解是B=(XAcos=0•由于AhO(否则X(x)三0),故cosVJ/=0,所以有(2)3阶Bessel方程的通解是R(d=CJ3(冋+DYf冋,由

6、/?(0)

7、<+oo知D=0,R(a)=0,得J3(7a^)=O由此得到木征值为「⑶丫儿=2—⑺二1,2,…)，a其

8、中才)是函数人(兀)的第n个零点。相应的本征函数是&(r)=C,J[弓J,("=1,2,…).三试在球坐标系(r.0.(p)下将Laplace方程r2sin&d&j1j+r2sin20逝分离变量，即得到各个单变量函数所满足的常微分方程。(20分)解设讥厂,0,0)=&厂)0(&妙(0),代入方程中，得°dR、L*—

9、7?O)dr2drydr)rsin0dOr2s20d(p2_O'2•2/)将变野和变量銅分离。为此，用需遍乘上式，并适当移项，可得sin20dsin3dRdrIdr©de①"2——=nr9

10、其中"是分离常数。由此可得两个微分方程(1)①“+莎①二。,Rdi"R厂一dr)HQsm3d0希r°・对上而第二个方程，再将变量几&分离1dGsinOdOsin&dQ}~de)sir?&1d(2rRdr[dRydr)其屮/(/+!)是第二次分离变量引入的常数，它可以用一个实数久由此再得两个都可表为/(/+1),其屮/为另一任意实数或复数］。常微分方程(2dR、d___drdr(2a)将式屮的导数求出，得到r2/?7r)+2/7?,(r)一/(/+l)/?(r)=0,(2b)以及zde~dOm20=0

11、.(3a)对方程(3a)作变换x=cos&以后，可以改写成(r—9ITT+/(/+!)--—71-x0=0,dclx(3b)将英屮的导数求出就冇(l-x2)0'(x)-2x0，(x)+/(/+!)-in11-x20(x)=0(3c)至此球坐标系下的Laplace方程分离变量的结果是得到三个常微分方程(1)、(2)和(3).四(本题20分)均匀薄板占据的区威为带状区威(05Ma,0

12、A=fl=0,w

13、v=0=A(l-—),limu=0o试用分离变量法求解板的稳

14、定温度a>'T8分布，即求解定解问题：d2Wd2Wn而+硬"

15、0=A(1——),limw=0-”aj->°°解令w(x,y)=X(x)y(y),代入原方程得Xn(x)+/zX(x)=OY”(y)-“Y(y)=O由兀=0和兀=a边界上的条件，有X(0)=X(a)=0解本征值问题xXX^o0*得本征值和本征函数为22nFv/、厂•叫兀xP=Xn(x)=Cnsin——cra解关于”刃的方程得打(刃=心“+B,&a从而有n/ryn/ryun(x,y)=(Anea+Bneoo竺/:=

16、!+Bne~)sin—Cl由尸o和尸〃边界上的条件，有由此得m+耳)血凹"(1-兰)心Cla£(人矿+瓦厂)sin□=]mix=04?=0,(”=1,2,3,…)f^sin凹心°A(l--)aBn=-rA(l--)sin—=—,(n=1,2,3,--)aJoaarm/、2AF1型.川加•••ux,y)=——L_€asino兀気na五(本题20分)半径为Q高为力的圆柱体，上底的电势分布为f(p)=p下底和侧而的电势保持为零，